Билет 12.

Двойной интеграл.

В качестве основной задачи, приводящей к двойному интегралу от функции двух переменных, рассмотрим задачу вычисления объема цилиндроида – тела, ограниченного снизу плоскостью XOY, сбоку – цилиндрической поверхностью, и сверху – поверхностью .

Здесь – непрерывная функция в каждой точке области , граница которой – непрерывная кривая. Разбивая на подобласти и заменяя цилиндроид с основанием и верхней поверхностью цилиндром высоты , где – произвольная точка из , найдем приблизительное значение объема, равное . Стягивая подобласти в точки и тем самым увеличивая количество этих подобластей, мы будем уточнять величину объема исходного цилиндроида. Предел интегральных сумм называется двойным интегралом от по области и обозначается . В данном случае функция положительна. В общем случае подынтегральная функция может произвольно менять знак.

Свойства двойного интеграла.

Эти свойства повторяют свойства интеграла функции одной переменной по отрезку.

1. Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых функций

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

3. Если всюду в области D, то

4. Если M и m есть соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в области D, имеющей площадь , то

5. Если функция непрерывная в замкнутой области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка для которой справедливо равенство

где S площадь области D (теорема о среднем).

6. Если область D разбита на две части и , то

Тройные интегралы.

В качестве основной задачи, приводящей к тройному интегралу от функции трех переменных, рассмотрим задачу вычисления массы неоднородного тела с переменной плотностью .

Р азделим тело на фрагментов. Пусть - один из этих фрагментов. Выберем внутри этого фрагмента точку Обозначим через массу вещества внутри , через – объем . В силу непрерывности плотности при достаточно малых размерах фрагмента, то есть, при малых значениях можно считать, что Эти вычисления выполним для всех частей, на которые мы разбили тело. Складывая полученные произведения, найдем массу тела :

Точное значение массы найдем, если справа перейдем к пределу, когда число разбиений стремится к бесконечности, а все фрагменты стягиваются в точку, то есть наибольший из диаметров фрагментов, называемый диаметром разбиения, стремится к нулю:

.Предел интегральных сумм называется тройным интегралом от по области и обозначается . В данном случае функция положительна. В общем случае подынтегральная функция может произвольно менять знак.

Свойства тройного интеграла.

1. Тройной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме тройных интегралов от слагаемых функций

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла

3. Если всюду в , то

4. Если и есть соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в трехмерной области , имеющей объем , то

.

5. Если функция непрерывная в трехмерной замкнутой области , то в этой области найдется по крайней мере одна точка для которой справедливо равенство

где площадь области (теорема о среднем).

6. Если трехмерная область разбита на две части и , то .

Билет 14.

Замена переменных в двойном интеграле.

Если переменные в двойном интеграле являются функциями переменных то двойной интеграл от функции по области равен интегралу по области от функции , умноженной на модуль якобиана . То есть, справедлива формула

.Пример. Пусть область – сектор круга радиуса 1, расположенный между лучами .

Перейдем в интеграле к полярным координатам по формулам , учитывая, что . Мы получим

.

Замена переменных в тройном интеграле.

Если переменные в тройном интеграле являются функциями переменных то тройной интеграл от функции по трехмерной области равен интегралу по области от функции , умноженной на модуль якобиана . То есть, справедлива формула

.

Пример. Пусть трехмерная область – верхнее полушарие радиуса 1. Найти

. Перейдем к сферическим координатам по формулам . Учтем, что , и значит в верхнем полушарии . В результате расстановки пределов интегрирования получим

.

Билет 15.

Криволинейный интеграл 1-го рода.

В качестве основной задачи, приводящей к криволинейному интегралу первого рода рассмотрим задачу о вычислении массы неоднородной нити.

Пусть С – кривая в пространстве XYZ, любой фрагмент которой имеет длину. Тяжелая неоднородная нить расположена вдоль этой кривой. Плотность нити, рассчитанная на единицу длины, зависит от местоположения точки на кривой и равна , причем – непрерывная на C функция. Для того, чтобы вычислить массу неоднородной нити, разобьем кривую C на n фрагментов с длинами и на каждом таком фрагменте

выберем точку с координатами . Найдем значение .

Предполагая, что длина i-го фрагмента мала и учитывая, что плотность непрерывна, получим, что масса этого фрагмента будет приблизительно равна , при этом чем меньше фрагмент, тем точнее полученная масса этого фрагмента. Поэтому массу всей нити можно получить, просуммировав массы всех фрагментов и устремив к нулю длины фрагментов, одновременно увеличивая количество фрагментов, на которые разбита кривая. Таким образом, выражение для массы нити будет иметь вид

. Обозначая предел интегральной суммы с помощью интеграла, получим .

Правая часть последнего выражения называется криволинейным интегралом первого рода или криволинейным интегралом по длине дуги. Заметим, что результат интегрирования не зависит от направления движения по кривой C, как не зависит от направления измерения масса нити.

С помощью криволинейного интеграла 1-го рода можно вычислять не только массу нити, но и другие физические характеристики нити: моменты, центр тяжести.

Способ вычисления криволинейного интеграла первого рода.

Пусть требуется вычислить , когда функция непрерывна на кривой C. Кривая C задана параметрически: , где функции имеют непрерывные на отрезке производные.

В этом случае справедлива следующая формула для вычисления криволинейного интеграла:

.

Криволинейный интеграл 2-го рода.

В качестве основной задачи, приводящей к криволинейному интегралу второго рода рассмотрим задачу о вычислении работы силы вдоль кривой.

Пусть С – кривая в пространстве XYZ с заданным направлением движения по ней. В каждой точке кривой задан вектор силы

.

Следует вычислить работу силы вдоль кривой C. Если бы кривая была прямолинейным направленным отрезком , а сила была постоянной вдоль всего этого отрезка, работу мы вычислили бы с помощью скалярного произведения по формуле . Будем полагать компоненты вектора силы , , непрерывными на C функциями. Будем считать кривую C гладкой, то есть такой, что в каждой точке кривой существует касательная к кривой в этой точке, а при разбиении кривой точками на дуговые фрагменты и при измельчении такого разбиения хорда, соединяющая концы дугового фрагмента, становится сколь угодно близкой к соответствующему дуговому фрагменту. Для вычисления работы силы вдоль кривой разобьем кривую C на n фрагментов точками с координатами так, что при движении в заданном направлении по кривой параметр i растет. Выберем на i-м дуговом фрагменте точку с координатами . При измельчении разбиения кривой вектор силы на i-м дуговом фрагменте мало отличается от вектора вследствие непрерывности компонент вектора силы. В свою очередь, путь вдоль i-го дугового фрагмента от точки с координатами к точке с координатами при измельчении разбиения мало отличается от пути вдоль соответствующей хорды. Прямолинейный путь вдоль хорды задается вектором , причем измельчение разбиения равносильно стремлению к нулю компонент вектора . Таким образом, работа силы вдоль i-го дугового фрагмента близка к значению , и это значение тем точнее, чем мельче разбиение кривой C.

Р аботу вдоль всей кривой C мы получим, если просуммируем значения работы на всех дуговых фрагментах кривой C, измельчая разбиение и увеличивая одновременно количество дуговых фрагментов:

.

Переходя с помощью предела от интегральных сумм к интегралу, имеем

.

Интеграл в правой части последнего выражения называется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам. Этот интеграл вычисляют только вдоль ориентированных кривых – то есть, кривых, на которых задано направление. Заметим, что, если мы сменим направление движения вдоль кривой C на противоположное, а значит, заменим при вычислении вектор на вектор , то получим замену знака на противоположный знак. Поэтому при задании криволинейного интеграла второго рода обязательно задают направление движения по кривой интегрирования.

В случае, когда кривая C замкнута, символ интеграла обычно несколько изменяют, добавляя пересекающий его кружок: .

Способ вычисления криволинейного интеграла второго рода.

Пусть требуется вычислить .

Кривая C задана параметрический: , где функции имеют непрерывные на отрезке производные. В этом случае мы имеем следующую формулу для вычисления криволинейного интеграла второго рода:

.

Билет 16.

Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования на плоскости.

В общем случае криволинейный интеграл , где кривая C соединяет точки A и B на плоскости XY, зависит от пути C. Зададимся вопросом, каким условиям должны удовлетворять функции и в области , чтобы результат интегрирования по любой кривой, лежащей внутри , и соединяющей две фиксированные точки, был одинаковым.

Очевидно, что условие независимости результата интегрирования криволинейного интеграла по кривой, соединяющей две фиксированные точки области, от формы этой кривой равносильно условию равенства нулю интеграла по любой замкнутой кривой, лежащей в этой области. Действительно, обозначим через и две кривые, лежащие в , с общими начальной и конечной точками. Тогда кривая , где знак «-» означает, что соответствующая кривая проходится в противоположном направлении, будет замкнутой. Следовательно, соотношение

равносильно тому, что .Необходимым и достаточным условием того, что , где – любая замкнутая кривая, лежащая в области , является равенство , выполняющееся всюду в для непрерывных функций и . Для доказательства этого факта используется формула Грина.

Заметим, что выполнение условие – это условие того, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции , называемой потенциалом. Действительно, если и , то .

Таким образом, выполнение условие обеспечивает представление , и криволинейный интеграл от этого выражения по любой кривой, соединяющей две фиксированные точки A и B с координатами , соответственно, равен .