5. Системи m лінійних рівнянь з n невідомими. Критерій сумісності системи. Теорема Кронекера-Капеллі.

Теорема (Критерій сумісності Кронекера - Капеллі).Для сумісності системи лінійних рівняннь необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці.

Спільне значення рангів основної і розширенної матриць називають рангом сумісної системи лінійних рівняннь.

Наслідок .  (Критерій визначенності). Якщо ранг системи дорівнює кількості невідомих, то система визначена, якщо меньше - невизначена.    Розглянемо випадок, коли кількість рівнянь сумісної системи AX=B дорівнює кількості невідомих і дорівнює рангу системи. У цьому випадку detA =0. Тоді

AX=B X=A−1B

Система лінійних рівнянь назив ається однорідною, якщо стовпець вільних членів складається з нулів (в іншому випадку -неоднорідною).

Легко бачити, що однорідна система завжди сумісна. Зауважимо, що нульовий вектор задовільняє рівняння усякої однорідної системи. Такий розв'язок однорідної системи називається  тривіальним.

Фундаментальною системою розв'язків невизначенної однорідної системи лінійних рівнянь називається сукупність таких вектор-розв'язків, коли будь-який розв'язок однозначно зображається у вигляді лінійної комбінації вектор-розв'язків цієї сукупності.

Кількість вектор-розв'язків фундаментальною системою розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь з n невідомими дорівнює n−r, де r - ранг системи.

Загальний розв'язок неоднорідної системи рівнянь дорівнює сумі частинного вектор-розв'язку цієї системи та загального вектор-розв'язку однорідної системи з тією ж матрицею коефіцієнтів.

6. Поняття функції. Області визначення і значення. Способи завдання функції.

Залежність змінної y від змінної x називається функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y. При цьому x називають аргументом (незалежною змінною), y - функцією (залежною змінною).

Область визначення функції – це всі значення, які може приймати аргумент (змінна x). Область значень функції - це всі значення, які може приймати функція (змінна y) при всіх x із області визначення функції.

Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули. Формула задає правило, за яким кожному значенню аргументу x ставиться у відповідність значення функції y. При табличному способі залежність між змінними часто встановлюється експериментально або шляхом спостережень.

Графіком функції y = f(x) називається множина всіх точок координатної площини (x, f(x)), у яких абсциси належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.

7. Деякі властивості функції (монотонність, парність, періодичність), приклади.

Функція, яка тільки зростає, або тільки спадає, на даному числовому проміжку, називається монотонною. Термін монотонна функція об'єднує поняття: зростаючої, спадної, не зростаючої (строго монотонна), не спадної, постійної (не строго монотонна).

Обмежені та необмежені функції. у=f(x) – називається обмеженою зверху (знизу), на деякій множині х, якщо для будь-якого значення х, з цієї множини існує таке число М(м), що f(x) £ М (зверху), м £ f(x) (знизу). Функції обмежені зверху і знизу будем називати обмежені у множині х. у=f(x) – обмежені на

Х <=> (" x є X $ м,М; м £ f(x) £ М, але частіше нерівність м £ f(x) £ М в означенні обмеженої функції заміняють на нерівність |f(x)| £ A, таку, де А = мах(м,М). Графік обмеженої функції розміщається в горизонтальній полосі у є [-A;A]. Прикладом обмеженої функції є функції типу y=sinx; y=cosx. Якщо таких чисел м,М для функції не існує, то функція називається необмеженою.

Говорять, що функція у=f(x) – визначена на всій числовій осі періодично, з періодом Т>0, якщо f(x±T)=f(x). Якщо Т – період функції f(x), то і кратні йому числа будуть теж періодами цієї функції. Тобто, якщо f(x+T)=f(x), f(x+kT)=f(x), k=±1, ±2, ±3... K – найменший період. Для побудови графіка періодичної функції достатньо побудувати частину цього графіка, на будь-якому проміжку, довжина = Т, а після цього продовжити періодично цей графік вліво і вправо на сусідні проміжки довжиною Т.

Парні та непарні. Функція f(x) – називається парною чи непарною, якщо вона визначена на симетричному, відносно початку координат, проміжку; f(-x)=f(x) – парна; f(-x)= - f(x) – непарна. Графік парної функції симетричний відносно осі ОУ, непарної – відносно початку координат. Більшість функцій не відносяться ні до числа парних, ні до числа непарних. Вони називаються функціями загального виду, але будь-яку функцію можна представити у вигляді суми парної і непарної функції, якщо задана функція визначена на симетричному, відносно початку координат, проміжку. Приклад: f(x)=[ f(x)+f(-x) ] / 2 + [ f(x)-f(-x) / 2 ] – тотожні вирази.