11.Двійкова , шістнадцяткова та вісімкова системи числення 12. Переведення чисел в різні системи числення

Шістнадцяткова система числення

В комп’ютерних технологіях широко використовується шістнадцяткова система числення. Певна річ, що треба

мати 16 символів для позначення цифр. Перші десять цифр можна запозичити з десяткової системи числення, а

що до решти, то їх домовилися позначати великими латинськими літерами:

10 - A, 11 - B, 12 - C, 13 - D, 14 - E, 15 - F.

Таким чином запис (2CF) 16 буде означати вираз

2  16

2

+ 12  16

1

+ 15  16

0

= (944) 10.

Батрак Ю.А. Вступ до програмування

5

Двійкова і вісімкова системи числення

Окрім шістнадцяткової системи в комп’ютерних технологіях використовуються двійкова, а також вісімкова

системи числення, які як і шістнадцяткова система мають основою степені двійки.

Алфавіт двійкової системи складається з двох цифр: 0, 1. Ці цифри мають спеціальну назву біт від англійсь-

кого «binary digit». Запис вигляду (101101) 2 означає вираз

1  2

5

+ 0  2

4

+ 1  2

3

+ 1  2

2

+ 0  2

1

+ 1  2

0

= (45) 10.

Нижче у таблиці 1 подані перші шістнадцять цілих чисел, записаних у різних системах числення.

Таблиця 1

Десяткова

система

Двійкова

система

Вісімкова

система

Шістнадцяткова

система

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

Зверніть увагу, що для запису чисел таблиці у двійковій системі знадобилося не більше ніж чотири біта.

Дріб у двійковій системі записується за тими ж правилами, що і десятковий дріб, але при підрахунку значення

треба використовувати від’ємні степені двійки. Запис (0,1101) 2 означає

1  2

-1

+ 1  2

-2

+ 0  2

-3

+ 1  2

-4

=

1  0,5 + 10,25 + 00,125 + 1 0,0625 = (0,8125) 10.

1.3 Перехід від десяткової до інших систем числення

Досі ми переходили від заданої системи числення до десяткової, а зараз розглянемо як знайти запис поданого

десяткового числа у будь-якій довільній системі числення.

Якщо число ціле, то його потрібно послідовно ділити на основу системи доти, доки частка не стане меншою ніж

основа. Залишки, що будуть отримані у процесі ділення записані у зворотному порядку, починаючи з останньої

частки, і будуть шуканим записом. Наведемо приклади.

Знайти запис цілого числа (12135) 10 у шістнадцятковій системі.

12135 16

11128 758 16

7 752 47 16

6 32 2

15

Тобто (12135) 10 = (2F67) 16 .

Знайти запис числа (100) 10 у двійковій системі числення.

100 2

100 50 2

0 50 25 2

0 24 12 2

Батрак Ю.А. Вступ до програмування

6

1 12 6 2

0 6 3 2

0 2 1

1

Тобто (100) 10 = (1100100) 2 .

Щоб перевести десятковий дріб в іншу систему, треба застосовувати дещо інший алгоритм. Поданий дріб треба

ділити на число обернене основі системи. Сутність алгоритму покажемо на прикладі.

Знайти запис числа (0,375) 10 у двійковій системі числення.

0,375 0,5

0 0

0,375 2 = 0,75 0,5

0,5 1

0,252 = 0,5 0,5

1

Випишемо отримані частки у прямому порядку - це і буде шуканий запис:

(0,375) 10 = (0, 011) 2 . Отриманий дріб є скінченим і точно дорівнює заданому числу. Якщо число не є крат-

ним степеню 0,5, то двійковий дріб буде нескінченим і перехід до двійкової системи можна здійснити тільки

приблизно. Наведемо приклад.

Знайти запис числа (0,8) 10 у двійковій системі числення.

0,8 0,5

0,5 1

0,3 2 = 0,6 0,5

0,5 1

0,12 = 0,2 0,5

0 0

0,2 2 = 0,4 0,5

0 0

0,42 = 0,8 .....

У цьому випадку отримано нескінчений періодичний двійковий дріб:

(0,8) 10 = (0, 11001100110011001100. . . .) 2 . Як бачимо, дріб скінчений в одній системі , - в іншій має не-

скінчене зображення.

Якщо число має цілу і дробову частини, то кожна з цих частин переводиться окремо за своїм алгоритмом.