45. Поняття про генеральну сукупність та вибірку. Емпірична формула розподілу.

Основна мета використання методів математичної статистики - вивчення властивостей незмірно великої групи об'єктів на підставі аналізу властивостей відносно невеликий їх сукупності.

При цьому все існуюче в природі, цікавлячі нас об'єкти називаються генеральною сукупністю, а відносно невелика їх кількість, відібрана нами для вивчення - вибіркової сукупністю, або вибіркою.

Емпіричною функцією розподілу Fn(x) називається відносна частота (частість) того, що ознака (випадкова величина Х) прийме значення, менше ніж заданий х, тобто

Fn(x)=w(X<x)=

Іншими словами емпірична функція розподілу являє собою нагромаджену частість =

Можна помітити, що статистичний ряд – це статистичний аналог розподілу ознаки (випадкової величини Х).

46. Вибіркові характеристики. Варіаційний ряд, таблиці частот, гістограма.

Варіаційним рядом х₍₁₎ х₍₂₎ ...  х_(n) називається вибірка, записана в порядку зростання її елементів. Числові характеристики емпіричного розподілу називаються вибірковими характеристиками: вибіркові середнє (математичне сподівання), дисперсія:

= , s²=

вибірковий момент порядку k:

m_k = ;

вибіркові квантилі _p порядку р - корені рівняння

F(_p)=p,

якими є члени варіаційного ряду

_(p)=_([np]+1), де [nр] означає ціла частина nр; частинним випадком (p = 0.5) є вибіркова медіана - центральний член варіаційного ряду. Значення вибіркових характеристик полягає в тому, що при n   вони прямують до значень розподілу F(х). У випадку дискретної емпіричної випадкової величини статистичний розподіл подають у вигляді таблиці розподілу частот:

Гістограми використовують для зображення винятково інтервальних варіаційних рядів. Для її побудови в прямокутній системі координат на осі абсцис відкладають відрізки, що є частковими інтервалами спостережень. На цих відрізках, як на основах, будують прямокутники з висотами, що дорівнюють частотам — абсолютним або віднос­ним. Гістограмою абсолютних частот називають ступінчасту фігуру, яка побудована з прямокут­ників, основою яких є інтервали групування, дов­жини h, а висоти дорівнюють . Площа гістограми абсолютних частот дорів­нює п.

47.Полігон частот. Статистичне та інтервальне оцінювання параметрів розподілу.

Статистичні оцінки діляться на точкові та інтервальні. Точковою називається оцінка, яка визначається одним числом.. При вибірці малого обсягу точкові оцінки можуть значно відхилятись від параметру, тобто приводять до грубих похибок. Тому більш точними є інтервальні оцінки.

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.

Нехай знайдена по даних вибірки статистична характеристика а^* служить оцінкою невідомого параметру а. Будемо вважати а постійною величиною (може бути і випадковою). Зрозуміло, що а^* тим точніше визначає параметр а, чим менша абсолютна величина різниці  . Іншими словами, якщо   і   , то чим менше  , тим точніша оцінка. Таким чином, додатне число   характеризує точність оцінки.

В зв’язку з тим, що вибіркові параметри (середні, дисперсія і т.д.) є випадковими величинами, то і їх відхилення від генеральних параметрів (похибки) також будуть випадковими величинами. Таким чином, задачу про оцінку цих відхилень носить ймовірнісний характер і полягає в оцінці ймовірності  , наприклад:

 чи   і т.д. Ймовірність   (як правило  ) називається надійністю, а інтервали   і т.д. називаються надійними інтервалами, або довірчими інтервалами. В загальному випадку надійністю оцінкиа по а^* називається ймовірність   , з якою здійснюється нерівність   , а інтервал   , який з заданою надійністю   накриває невідомий параметр а і називається довірчим інтервалом.

Полігон частот - ламана, що з'єднує точки. Полігон частот образується ламаною лінією, яка з’єднує точки, відповідним середнім значенням інтервалів групування та частотами цих інтервалів, середнє значення відкладається на осі х, а частоти на осі У. Полігоном частот називається залежність варіант ряду розподілу від частоти або відносної частоти.