4.2 Особенности реализации метода конечных элементов в SolidWorks и Abaqus

Разработчики конечно-элементных программных комплексов (и любых других), как правило, заботясь об оригинальности и конфиденциальности кода, не предоставляют подробную информацию о реализованных в них вычислительных методах, что превращает программу в своеобразный “черный ящик”. Однако использование программы в отсутствие представлений о происходящих в ней процессах может привести к неадекватным результатам ее использования даже при наличии соответствующей математической подготовки пользователя.

Поэтому для увеличения прозрачности производимых вычислений необходимо предоставить некоторую информацию, которую возможно получить либо используя навыки программирования, либо обращаясь в службу поддержки разработчика, либо на основании литературы по интересуемому и смежному программному обеспечению, сопутствующих руководств, справок, статей [3].

При проведении анализа конструкции с использованием метода конечных элементов целесообразно использовать многоуровневый подход [38]. На начальной стадии проводятся исследования на базе упрощенных, как правило, балочных или стержневых моделей. Результатом является получение общей картины распределения напряжений и деформаций в модели при грубом описании геометрии, удовлетворительной точности, высокой скорости вычисления. Затем для избранной части модели используют более подробное моделирование, которое более трудоемкое, но предоставляет высокую точность результатов, учитывает концентраторы напряжений, более подробно характеризует геометрию и соединения [8, 49].

В процессе описания геометрии в SolidWorks при создании оболочечной модели была первоначально образована сплошнотельная модель, которая затем аппроксимирована плоскими оболочками с учетом геометрических характеристик оригинальной конструкции рамы. Также было выполнено балочное упрощение. Кроме того, в силу достаточных вычислительных возможностей компьютерных средств оказалось возможным задействовать оригинальную сплошнотельную модель рамы.

Ниже, опираясь на последний способ, будет прояснены некоторые особенности реализации МКЭ для решения статической задачи в SolidWorks:

1) деформации по умолчанию принимаются упруго малыми; конструктивная нелинейность не поддерживается;

2) дискретизация объема на конечные элементы происходит: для объемного тела – на тетраэдры с гранями, аппроксимируемыми линейными и параболическими функциями координат; для поверхностных моделей – плоскими или криволинейными треугольниками;

3) перемещения и усилия вычисляются в вершинах КЭ (для линейных КЭ), а также около середин сторон или ребер КЭ (для параболических КЭ);

4) для пространственных КЭ степенями свободы являются 3 перемещения вдоль осей системы координат (рис. 26а), для оболочечных КЭ – степенями свободы являются также 3 угла поворота нормали к срединной поверхности (рис. 26б), для балочных КЭ – 3 перемещения и 3 поворота вокруг осей (рис. 26в), для стержневых КЭ – 3 перемещения вдоль осей (рис. 26г);

5) матрица жесткости образуется на основании модуля Юнга и коэффициента Пуассона ;

6) на основе компонентов напряженно-деформированного состояния и параметров прочности материала производится вычисление эквивалентных напряжений по избранному критерию прочности [5];

7) результаты удовлетворяют принципу минимума потенциальной энергии деформации;

8) проблема интегрирования по объему сложной формы или криволинейной поверхности разрешается выражением элементарного объема в локальной системе координат, связанной с КЭ:

, (26)

где , , - локальные координаты; - матрица Якоби, использующаяся также для оценки правильности конечного элемента [4].

Что касается Abaqus, то отличия в применяемых конечных элементах от SolidWorks весьма существенны. Это связано с тем, что тяжелые САПР используют большое количество типов конечных элементов, которое не может быть описано его размерностью в пространстве, количеством узлов на ребре. Становятся доступными к настройке число точек интеграции Гаусса, “омертвение” сетки, слияние узлов и прочие опции.

Рис. 26 – Конечные элементы SolidWorks: а – тетраэдральный конечный

элемент второго порядка; б – треугольный конечный элемент второго порядка; в – балочный конечный элемент; г – стержневой конечный элемент

В Abaqus большинство элементов применяются в тех или иных конкретных задачах моделирования, например, существуют конечные элементы для моделирования листовых пружин, для изучения напряженно-деформированного состояния в устье трещины, для исследования магнитных полей и проч. Одномерные конечные элементы в Abaqus представлены стержневыми и балочными конечными элементами, двумерные конечные элементы представлены треугольными и прямоугольными, трехмерные – кубическими, призматическими, тетраэдральными [93].

Традиционно кубическая упорядоченная сетка (особенно второго порядка) считается наиболее точной и менее затратной при вычислениях. В то же время следует учесть, что такая рекомендация разрабатывалась для малопроизводительных компьютерных средств, кроме того, прямоугольная сетка весьма чувствительная к геометрии и менее точно определяет градиенты напряжений. Тетраэдральные конечные элементы, в свою очередь, менее чувствительны к геометрии, особенно в случае использования адаптивных методов разбиения сетки. Вычислительная ошибка, накапливаемая в процессе использования тетраэдральных конечных элементов может быть скорректирована введением коэффициентов масштаба [41].

Также к классическим рекомендациям по построению сетки относят:

1) запрет ограничения всех степеней свободы в каждом узле конечного элемента;

2) запрет приложения силы в узле в том же направлении, что и ограничение перемещения;

3) запрет полного отсутствия закрепления перемещения вдоль одной из осей;

4) минимизация числа граничных условий в задаче.

В настоящей работе использовались сетка из балочных элементов и смешанная сетка из кубических и тетраэдральных конечных элементов в Abaqus. Удобство построения сетки в Abaqus заключается в возможности назначения сидов – предположительных мест задания узлов, что представляет собой ручной метод адаптации сетки к геометрии; кроме того, построенные элементы редактируются ручным перемещением узлов, что позволяет достичь адекватной формы элементов [93].

Автоматические методы разбиения конечно-элементной сетки в SolidWorks и Abaqus основываются на алгоритме Делано-Вороного, суть которого в следующем (для плоской задачи). Рассматривается серединный перпендикуляр отрезка, соединяющего некоторую пару точек и разбивающих плоскость на две полуплоскости. Разбиение сетки сводится к повторению операции для множества точек. Также в SolidWorks и Abaqus доступен алгоритм движущегося фронта (или заметающей кривой, алгоритм Форчуна), являющийся модификацией алгоритма Делано-Вороного и отличающегося от него тем, что бесконечное пространство ограничивается кривой, движущейся по мере построения сетки, что позволяет ускорить ее построение в случае сложной геометрии [1, 2].