37. Стационарные и эргодические процессы

Случайный процесс называется стационарным, если его любая -мерная функция распределения вероятности не меняется при любом сдвиге всей группы точек вдоль всей оси времени,что эквивалентно переносу начала координат.Выводы:

1. Одномерная функция распределения (ФР).

не зависит от времени.

2. Двумерная ФР есть зависимость только от временного сдвига

3. Трехмерная ФР.

4. -мерная ФР , т.е. зависит от временного положения точек.

Стационарные случайные процессы обычно возникают в установившемся состоянии после включения аппаратуры. Чтобы стационарность сохранялась необходимы неизменные параметры цепи, сигнала, условия выше.Если какие-либо из условий не выполняются, то стационарные процессы прекращаются.Оказывается, для стационарных случайных процессов закон распределения можно получить по одной единственной реализации. Для этого необходимо проводить усреднение по времени в течении длительного времени.

Каждый из источников случайных сигналов может вырабатывать случайный процесс, являющийся полномерным представителем ансамбля реализаций случайного процесса. Такие случайные процессы (характеристики всего ансамбля которых получены по одной реализации) называются эргодическими.

При анализе двух и более процессов интересует связь между ними. Ее характеризует двумерная функция распределения (взаимная) .Если любые -мерные совместные функции распределения плотности вероятности не изменяются при одновременном сдвиге точек отсчетов (во времени) вдоль оси , то такие случайные процессы называются стационарно связанными.

Рассмотрим эргодические стационарные и стационарно связанные случайные процессы. Для них усреднение по ансамблю реализаций и усреднение по времени одной реализации совпадают (приводят к одному и тому же результату).

-для момента 1-го порядка

- усреднение по реализации (математическое ожидание)

- среднее значение по времени.

- для момента -го порядка

- взаимно корреляционная функция (ВКФ)

Для стационарного эргодического случайного процесса функции ковариации совпадают с функциями корреляции.Если выполняется условие стационарности для ФР с любым , то это понятие стационарность в узком смысле (строгом). Если условие стационарности выполняется только для ФР ( ), то это понятие стационарности в широко смысле.

38. Нормальные случайные процессы.

Нормальные случайные процессы – это процессы, для которых достаточно знать корреляционную функцию (подчиняются нормальному закону распр-я).Одномерный норм. закон распр-я:

; - математическое ожидание.

- дисперсия.

Интегральная функ-я распр-я:

Ляпунов 1901 г.- фундаментальная теорема, называемая центральной предельной теоремой.Если случайная величина возникает в результате взаимодействия большого количества случайных факторов, слабосвязанных (несвязанных) между собой, то ЗР такой случайной величины будет нормальным, т.е. плотность вероятности описывается функцией Гаусса.

- коэффициент корреляции между случайными величинами и . - мат. ожидания для ; - среднеквадратические отклонения для .Если - стационарные нормальные случайные процессы с нулевым средним значением ( ), тогда - функция только ), , т.е. этих величин будет одинаково, . В результате запись нормального ЗР существенно упроститься:

.Если между и нет корреляции, т.е. , то в этом случае будет следующая:

Т.е. при отсутствии корреляции можно представить в виде произведения двух .Т.е. для нормального распределения отсутствие корреляции равносильно независимости.