11.9. Теорема Остроградского-Гаусса для поля в диэлектрике. Связь векторов - сме­щения, - напряженности и - поляризованности

Теорема Остроградского-Гаусса для потока вектора в вакууме имела вид:

, или

где Q - суммарный заряд, охватываемый замкнутой поверхностью S. В диэлектрике Q складывается из свободных (сторонних) зарядов и связанных зарядов, т.е.

(11-38)

Можно показать, что .

Подставляя эту формулу в (11-38), после преобразования получим (11-39)

Величину (11-40)

называют вектором электрического смещения или вектором электрической индукции. Она измеряется, как и , в Кл/м². Учитывая, что находим

. (11-41)

Линии вектора могут начинаться или заканчиваться лишь на свободных зарядах, а линии - на свободных и связанных. С учетом (11-40) формула (11-39) запишется так

, (11-41)

т.е. поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью.

Это и есть теорема Остроградского-Гаусса в интегральной форме для поля в диэлек­трике, которая в дифференциальной форме выглядит так:

= dq/dV, Кл / м (11-42)

ρ – объемная плотность свободных зарядов.

11.10. Проводники в электростатическом поле

Проводники - это вещества, в которых есть свободные носители зарядов, способные пере­мещаться под действием электрического поля. В случае металлических проводников свободными носителями заряда являются валентные электроны. Далее будем говорить о метал­лических проводниках, в которых носителями свободных зарядов являются электроны.

Электроны в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой си­лы т.к. , то для равновесия (покоя) электронов в проводнике необходимо, чтобы:

1. напряженность поля внутри проводника равнялась нулю:

. (11-43)

Поскольку = -grad ,то равенство нулю означает, что потенциал внут­ри проводника должен быть постоянным, т. е.

= const . (11-44)

Из (11-44) следует, что поверхность проводника и весь проводник являются эквипотенциальной поверхностью;

2) напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке на­правлена по нормали к поверхности, т. е. , а касательная составляющая

(11-45)

3) Поскольку внутри заряженного проводника электрическое поле отсутствует, то со­гласно теореме Остроградского-Гаусса, это означает, что сумма зарядов внутри него равна нулю. Следовательно, все (нескомпенсированные ) заряды располагаются на поверхности проводника с поверхностной плотностью .

Используя теорему Остроградского-Гаусса, легко показать, что вблизи поверхности заряженного проводника

E = . (11-46)