4.1.2 Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии

Оценки параметров регрессии  , определяемые формулами (4.5) и (4.11), являются точечными оценками истинных значений параметров B_j . Если результаты экспериментов независимы и подчиняются нормальному закону распределения с дисперсией σ², то доверительный интервал с доверительной вероятностью P = 1 – α для каждого параметра B_jможно определить неравенством

| Bj –   | < εj ­ ­ ­ или ­ ­ ­ Bj =   ± εj ,

(4.15)

где

εj = t1-α /2(k) SB ; ­ ­ ­ ­ SB = S / ||Tj||; ­ ­ ­ ­ ||Tj|| =   ­ ­ ­ ­ ( j = 1, 2, 3, ...),

(4.16)

здесь число ||T_j|| называется нормой базисной функции T_j ; S ² – несмещенная оценка дисперсии σ² с числом степеней свободы k, ­­t_{1-α /2}(k) – квантиль распределения Стьюдента; W_i = 1 в случае равноточных измерений.

4.1.3 Проверка гипотезы об адекватности регрессионной модели

Регрессионная модель называется адекватной, если предсказанные по ней значения переменной Y согласуются с результатами эксперимента. Если модель адекватна, то отклонения результатов эксперимента от полученной функции регрессии ΔY_i = Y_i –  (x_i) являются реализациями случайных ошибок эксперимента Z_i, которые, в силу предположений (4.1), (4.9) должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевыми средними и дисперсиями, равными σ² / W_i. Проверка выполнения этих предположений осуществляются статистическими методами и лежит в основе оценки адекватности модели регрессии.  Для проверки адекватности регрессионной модели вычисляют остаточную дисперсию (так называемую дисперсию адекватности) по формуле

,

(4.17)

где ΔY_i – отклонения средних Y_i от проверяемой модели регрессии; kад – число степеней свободы дисперсии адекватности; n – число точек, в которых проводился эксперимент; m – число оцениваемых параметров B_j в проверяемой модели.  Если истинная функция регрессии имеет тот же вид, что и рассматриваемая модель (например, так же, как и модель, представляет собой квадратичную функцию), то дисперсия адекватности служит несмещенной оценкой истинной дисперсии эксперимента и ее можно сравнивать с другими подобными оценками. В частности, может быть проведена независимая серия измерений для получения оценки дисперсии эксперимента S²_экс. Если в каждой точке проводилось несколько измерений, то за независимую оценку можно взять сводную оценку дисперсии S²_св :

(4.18)

с числом степеней свободы  . Здесь L число серий измерений, k_j = n_j - 1, ..., n_j - число измерений в каждой серии.  Следовательно, S²_экс оценивает дисперсию эксперимента D_экс, ­ S²_ад характеризует степень отклонения экспериментальных точек от регрессионной модели, т.е. оценивает некую дисперсию адекватности D_ад. Проверка адекватности модели заключается в проверке гипотезы H₀: ­ ­ D_ад = D_экс при альтернативной гипотезе H₁: ­ ­ D_ад > D_экс (если модель неадекватна, отклонения экспериментальных точек от модели будут больше погрешностей эксперимента). Таким образом, задача сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий, которая решается с помощью критерия Фишера. Вычисляем отношение

F = S2ад / S2экс .

(4.19)

Если при заданном уровне значимости α отношение F окажется меньше квантили F_1-α(k₁, k₂), где k₁ = k_ад, ­ ­ k₂ = k_экс, то рассматриваемая модель не противоречит результатам эксперимента и принимается; в противоположном случае модель отвергается с уровнем значимости α, как противоречащая результатам эксперимента.  В построенной регрессионной модели (4.4) некоторые коэффициенты могут быть незначимы, т.е. может выполняться гипотеза H₀ : ­ ­ B_j = 0. Для проверки этой гипотезы можно найти доверительный интервал для коэффициента B_j с уровнем значимости α. Если этот интервал «накрывает» значение B_j = 0, гипотеза H₀ принимается и коэффициент B_j признается незначимым, в противоположном случае коэффициент B_j значим.