4. Знакопеременные ряды

Ряды, у которых члены могут иметь различные знаки, называются знакопеременными. Рассмотрим ряды, содержащие бесконечное число как отрицательных, так и положительных членов. Пусть дан ряд . Составим ряд из модулей , все его члены являются неотрицательными числами, следовательно, к этому ряду из модулей можно применять достаточные признаки сравнения, Даламбера, Коши и исследовать его на сходимость.

Определение 4.1. Если ряд сходится, то ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд расходится, а ряд

сходится, то ряд называется условно сходящимся.

Пример 12. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Составим ряд из модулей и исследуем его с помощью признака Даламбера. Найдём предел:

. Ряд, составленный из модулей, сходится, следовательно, данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

5. Знакочередующиеся ряды

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, т.е. ряды вида

.

Теорема 11. (признак Лейбница). Пусть для ряда выполнены условия:

1) (члены ряда не возрастают по абсолютной величине);

2) .

Тогда ряд сходится, причём его сумма не превосходит первого члена, т.е. .

Пример 12. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд .

Решение. Ряд из модулей имеет вид , он расходится по предельному признаку сравнения, т.к. эквивалентен в смысле сходимости гармоническому ряду : . Значит, данный ряд не сходится абсолютно.

Применим к исходному знакочередующемуся ряду признак Лейбница:

1) для всех , т.е. , .

2) .

Условия признака Лейбница выполняются при всех , следовательно,

остаток ряда сходится условно, а значит и сам ряд сходится условно.

Вычислим приближенно сумму данного ряда с точностью до 0,01. Заметим, что брать меньше 10 членов ряда нельзя, т.к. признак Лейбница начинает выполняться при . Запишем остаток ряда:

Под знаком модуля стоит сходящийся знакочередующийся ряд, для которого признаку Лейбница сумма не превосходит первого члена. Таким образом, , т.е. у знакочередующегося ряда остаток не превосходит по абсолютной величине первого отброшенного члена. Запишем неравенство . Оно будет выполняться при . Следовательно, для нахождения суммы данного ряда с точностью до 0,01, достаточно взять 98 первых его членов, т.е. .

6. СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Теорема 12. Пусть ряды и сходятся абсолютно, и их суммы соответственно равны А и В. Тогда ряд сходится абсолютно, и его сумма равна .

Теорема 13. Если ряд сходится абсолютно, и его сумма равна А, тогда ряд , где c-const, сходится абсолютно, и его сумма равна .

Определение 4.2. Произведением рядов и называется ряд , где .

Теорема 14. Если ряд сходится абсолютно к сумме А, а ряд сходится условно к сумме В, то произведение этих рядов сходится (необязательно абсолютно) к .

Теорема 15. Если ряд сходится условно, то оба ряда, составленные из положительных и отрицательных членов его, расходятся.

Известно, что сумма конечного числа слагаемых не зависит от перестановки слагаемых. Сохранится ли это свойство для бесконечного числа слагаемых?

Теорема 16. (Дирихле). Пусть ряд сходится абсолютно к сумме S. Тогда для любой перестановки членов ряда он останется сходящимся к сумме S.

Теорема 17. (Римана). Если ряд сходится условно, то для любого наперед заданного числа А существует такая перестановка членов ряда, что сумма будет равна А.