9 . Теорема Лагранжа. Условия монотонности и выпуклости функции на промежутке

Т. 1. (Лагранжа). Если ф-ция f(x) непрерывна на [a, b] и имеет про-изводную на интервале (a, b), то сущ-ет по крайней мере 1 точка с(a, b), для которой вып-ся равенство (1).

Д. Положим , где число λ выберем так, чтобы было . Тогда , , .

Ф-ция удовлетворяет на [a, b] теореме Ролля:

1. непрерывна на [a, b];

2. дифференцируема на (a, b), .

3. .

По т.Ролля  с (a, b), что , т. е. или . Ч. т. д.

Т.2.(дост. условие возр. и убыв.) Пусть ф-ция f(x) определена и диффер-ма на (a, b). Тогда если ( ) на (a, b), то f(x) монотонно возрастает (убывает).

Д. Пусть . По теореме Лагранжа , . Т. к. , то Замеч.1: Условие f”(x)>0 яв-ся дост. условием возрастания ф-ции, но не яв-ся необх-мым.

Замеч.2:Пусть f(x) непрерывна на некот. пром-ке Р и пусть f”(x)>0 всюду на Р, кроме конечнего числа точек, в к-ой f”(x)=0

Эти точки разбивают Р на конечное число частей, на каждом из к-ых ф-ция монотонно возрастает. Тогда в силу непрерыв-ти ф-ций f(x) она мо-нотонно возр-ет на всем пром-ке Р.

О1. Ф-ция f(x) наз-ся выпуклой вверх (выпуклой вниз) на (a, b), если для любой точки х₀  (a, b) выполняется неравенство , .

Т. 3. Пусть ф-ция f(x) определена и дважды дифференц-ма на (a, b). Тогда если ( ) на (a, b), то f(x) строго выпукла (строго вогнута) на (a, b).

1 0. Экстремумы и точки перегиба

О1. Ф-ция f(x) в точке с имеет max (минимум), если сущ-ет окрестность этой точки, во всех точках х ≠ с которой вып-ся неравенство .

Max и min не обяз-но яв-ся наиб. и наим. значениями ф-ции на всей D(f), оно яв-ся таковым лишь в некот. окрестности точки с, поэтому их наз-ют локальными или местными макс. и мин-ми. понятие макс. и мин. объед-ют под названием экстремум.

Т.1. (необх. условие экстремума). Если ф-ция f(x), опред-ная в некот. окрест. точки с, имеет экстремум в т. с, то либо =0, либо не сущ-ет.

Д. Пусть f(x) определена в некот. окрест. т. с и имеет в ней экстремум. Тогда сущ-ет окрестность (с - , с + ), для к-ой f(с) яв-ся наиб. или наим. значением. По теореме Ферма если , то . Т. о. либо , либо не . Ч.т.д.

Т. о. экстр-мы нужно искать только среди тех точек, в к-ых , либо не сущ-ет. Такие т. наз-ся крити-ческими. Те крит-ие точки, в к-ых в точности =0 наз-ся стационарными.

Не всякая критич. тчк яв-ся тчкой экстремума.

Т. 2. (дост. условие mах и min). Пусть ф-ция f(x) диф-ма в некот. окрест. точки за исключением, б. м., самой т. с, в к-ой f(x) непрерывна. Если при переходе х через с меняет знак, то f(x) в точке с имеет экстре-мум. Если меняет знак с + на -, то в точке с – max, а если с - на + – min.

Д. Пусть меняет знак с + на -. Тогда f(x) возрастает на (с - , с) и убывает на(с, с + ). Пусть х  (с - , с + ). По теореме Лагранжа , точка  лежит между с и х. Если х < c, тогда

х-с<0, и . Если х>c, то и .

В обоих случаях , т. е. в точке с – max. Случай, когда меняет знак с - на + аналог-но. Ч.т.д.

О2. Т. x₀ наз-ся точкой перегиба ф-ции f(x), если она яв-ся общим концом интервале строгой выпуклости и интервала строгой вогнутости. Точка (x₀, f(x₀)) наз-ся точкой перегиба графика функции f(x).

Пусть ф-ция f(x) дважды непрерывно диф-ма в некот. окрест. точки с, кроме, б. м., самой точки с.

Т3. (необ. условие точки перегиба). Если т. с яв-ся т. перегиба ф-ции у = f(x), то либо =0 или не сущ-ет.

Д. Пусть . Тогда х из некот. окрест. с

(с-, с+), т. е. f(x) вогнута в этой ок-рестности, что противоречит условию теоремы. Если , то f(x) строго выпукла в некот. окрест. т. с, снова противоречие. Значит либо =0, либо не .Ч. т. д.

Т.о. тчку перегиба нужно искать среди тех точек, в к-ых 2-ая производная =0 или не сущ-ет. Однако не всякая такая точка яв-ся точкой перегиба.

Т. 4. (дост. условие точки перегиба). Пусть f(x) определена и непрерывна в некот. окрест. точки с и имеет в этой окрест. по кр-ей мере при х ≠ с. Если при переходе х через с меняет знак, то с – точка перегиба.

Д. Пусть меняет знак с + на -. Тогда ф-ция вогнута слева и выпукла справа от точки с, т. е. с – точка перегиба. Другой случай аналогичен. Ч. т. д.