Примеры

26. Вычислить , где – часть окружности , , выбрав за начало точку .

Решение. Запишем уравнение кривой в виде , . Тогда , . Используя формулу (14), имеем:

.

27. Вычислить , где – дуга параболы , , – начало кривой.

Решение. Выпишем действительную и мнимую части подинтегральной функции:

Воспользовавшись формулой (15), имеем

.

28. Вычислить , где – квадрат с вершинами в точках 1, , , (рис. 9).

 Решение. Поскольку на сторонах квадрата ABCD выполняется равенство |Re(z)|+|Im(z)|=|x|+|y|=1, получаем

.

Подсчитаем интеграл вдоль отрезка AB: y=1-x, 0x1, dy = – dx, Dz = dx + idy = (1– i)dx, откуда

Аналогично,

Окончательно,

4.2. Интегральная теорема Коши

ТЕОРЕМА (Интегральная теорема Коши). Если функция – аналитическая в односвязной области D, то интеграл от нее по произвольному замкнутому жордановому кусочно-гладкому контуру L, целиком лежащему в области D, равен нулю:

. (16)

Из этой теоремы вытекает: а) если аналитична в области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования, т.е. если ₁ D и ₂ D – две кривые, имеющие общие начало и конец, то

;

b) если функции и вместе со своими производными первого порядка аналитические в односвязной области D, то справедлива формула

; ;

Примеры

29. Определить, когда для интеграла можно применить интегральную теорему Коши, если L:

a) | z | = ; b) | z - | = ; c) | z - 1| = 4; d) | z | = 3.

 Решение. Подинтегральная функция имеет особенности в точках z = ± 2,. Следовательно,

a) круг полностью входит в область аналитичности и (16) имеет место;

b) рассуждая аналогично п. а), имеем (16);

c) в круге с центром z = 1 и радиуса 4 функция имеет особенности и не является аналитической, следовательно, теорема Коши не применима;

d) рассуждая аналогично п. с), получаем, что теорема Коши также не применима.

3 0. Доказать, что .

Решение. Функция – аналитична на всей комплексной плоскости. Проинтегрируем по контуру прямоугольника , (рис. 10). Из (16) следует, что . Тогда

.

Если объединить второй и четвертый интегралы, разбить третий интеграл на два и воспользоваться формулами Эйлера

, ),

то полученную сумму интегралов можно будет записать в виде

При R  .

Таким образом,

Зная, что (интеграл Эйлера – Пуассона), окончательно имеем

.

4.3. Интегральная формула Коши

Пусть функция аналитическая в ограниченной замкнутой односвязной области с кусочно-гладкой жордановой границей L. Тогда для любой точки справедлива формула

. (17)

Формула (17) называется интегральной формулой Коши. Для производной n-го порядка справедливо обобщение (17):

. (18)

Примеры

31. Вычислить , где

а) L={z, =1}; b) L={z, }; c) L={z, }.

Решение: а) перепишем интеграл в виде

,

функция – аналитическая в области , а точка , тогда из (25) имеем

;

b) в области | z | =  подынтегральная функция – аналитическая, поэтому из интегральной теоремы Коши (16) имеем

;

с) в области | z – 1 – i | < лежат две точки, в которых знаменатель обращается в ноль: , поэтому воспользоваться непосредственно формулой (17) невозможно. Разложим функцию на сумму простых дробей

.

Тогда, применяя (25) к каждому из интегралов, имеем

.

32. Доказать, что ( ).

Решение. Заменой сведем интеграл к интегралу по контуру от функции комплексной переменной. Так как , воспользовавшись формулой , имеем

.

Разложим знаменатель на множители:

.

Точка точка , таким образом, функция – аналитическая в и из формулы (17) имеем

.

33. Вычислить .

Решение. Воспользовавшись (17), имеем

.

34. Вычислить .

Решение. Сделав замену и используя формулу

,

имеем

.