4. Визначники другого і третього порядків та їхні властивості

називають визначником 3-го порядку.

Числа а₁₁, а₁₂,..., а₃₃, що складають визначник, називаються елементами визначника.

Для позначення елементів визначника використовуються подвійні індекси: а_ij.

Перший індекс (i) визначає номер рядка, а 2-й (j) - номер стовпчика визначника.

Права частина рівності (1.2) обчислюється за такими схемами.

тобто елементи добутків (1.2), взяті з відповідно вказаними знаками, або з'єднані відрізками (головна і друга діагональ), або утворюють трикутники.

Правило Крамера

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

(1.4)

Теорема. Якщо головний визначник складений із коефі­цієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами:

,

де — головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи (1.4);

— визначник, який утворюється заміною j-го стовпця в головному визначнику на стовпець вільних членів.

4. Визначники порядку n, властивості визначників

Означення. Визначником n-го порядку називається алгебраїчна сума n! Членів складена таким чином, що членами є всі можливі добутки n елементів взятих по одному в кожному рядку і кожному стовпчику, причому член береться зі знаком плюс якщо його індекси утворюють парну підстановку і зі знаком мінус у протилежному випадку.

Властивості:

Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті тран­спонування.

Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний.

Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С.

Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.

Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

6. N вимірний векторний простір. Лінійна залежність векторів.

Означення. Сукупність упорядкованих систем з n дійсних чисел, для яких визначено дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний векторний простір V_n.

Елементами заданого таким чином простору будуть впорядковані системи чисел, які називатимемо n-вимірними векторами і записуватимемо: . Числа a_i, i = 1, 2, 3, ..., n називаються компонентами вектора . Якщо розглянути ще один елемент простору V_n — вектор , то у просторі V_n можна виконувати такі дії.

Додавання двох векторів за правилом:

.

Множення вектора на число , за правилом:

.

Два вектори і вважаються рівними, якщо виконуються рівності . Роль нуля відіграє . З означень дій додавання і множення вектора на число випливають властивості:

Означення. Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , що .

Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа хоча б одне з яких відмінне від нуля, що виконується рівність

. (1.16)

Якщо рівність (1.16) можлива лише в разі, коли всі , то система векторів називається лінійно незалежною.

Будь-яка система векторів, що складається з більшої кількості векторів, ніж розмірність простору V_n, буде лінійно залежною.

Лінійно незалежна система n-вимірних векторів називається максимальною, або повною, лінійно незалежною системою, якщо в результаті додавання до неї будь-якого відмінного від n-вимірного вектора вона стає лінійно залежною.