Резонанс напряжений
Основные соотношения для простейшей резонансной цепи, состоящей из последовательно соединенных R, L, C - элементов, приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Резонанс напряжений в последовательном RLC – контуре |
|
Условие резонанса: X = L - 1/(C) = 0, или ХL = XC, при
этом
|
|
Напряжения на реактивных элементах:
UL= UC (по модулю) |
Векторная диаграмма
|
Резонансная частота |
|
Характеристическое сопротивление |
=
0L
= 1/(0C)
= |
Добротность контура определяет, во сколько раз напряжение на реактивном элементе при резонансе превышает входное |
|
Частотные характеристики I(), UL(), UC(), () называют резонансными. В качестве примера показаны I() и (), построенные по формулам:
|
|
Полоса
пропускания контура определяется по
уровню Imax/ |
П = 2 - 1 |
Добротность контура, полоса пропускания и резонансная частота связаны между собой |
П = 0/Q; Q = 0/П; 0 = ПQ |
;
;
резонансной
кривой тока
I()ПРИМЕР 3.2. Рассчитать параметры катушки R, L резонансного Q - метра с заданным коэффициентом передачи по напряжению К=500 на фиксированной частоте 0 = 105 рад/с, показанного на рис. 3.4. Значение емкости С принять равной 1 нФ.
Рис. 3.4
РЕШЕНИЕ. Резонансный Q - метр без нагрузки можно рассматривать как последовательный колебательный контур с добротностью Q = K = = U2/U1 = 500. Поскольку при резонансе напряжений в последовательном контуре XL = XC, (см. табл. 3.1), то индуктивность катушки должна составлять величину L = 1/(20С) или численно L = 1/(101010-9) = 0,1 Гн.
Активное
сопротивление катушки определится из
условия:
,
что дает:
Ом.
Резонанс токов
Основные соотношения для параллельных контуров без потерь и с потерями приведены в табл. 3.2 и 3.3.
Таблица 3.2
Параллельный RLC - контур |
|
Условие резонанса: Y = G, b = 0, где G = 1/R, b = 1/(L) - C, при этом U = I/G. |
|
Токи в ветвях при резонансе: IL = U/(jL); IC = jCU; I = IR = U/R |
Векторная диаграмма
|
Резонансная частота |
Р
= 0
= 1/ |
Добротность контура |
Q = IL/I = IC/I = R/ |
Частотные характеристики IL(), IC(), U() – подобны (дуальны) характеристикам UC(), UL() и I() последовательного контура |
|
Таблица 3.3
Резонанс токов в параллельном контуре с потерями |
|
Условие резонанса Y = G, b = 0, где
XL = L, XC = 1/(C) |
|
Токи в ветвях при резонансе:
|
Векторная диаграмма
|
Резонансная частота и характеристическое сопротивление |
где
|
Добротность контура |
при
р
0
Если
R1=0,
то
Если
R2
= 0, то
|
;
;
;
;
,
,
,
ПРИМЕР 3.3. По известным показаниям амперметров А1 и А2 в цепи по рис. 3.5 а определить в режиме резонанса показание амперметра А0 и добротность контура Q, если I1 = 5 A, I2 = 4 A.
а б
Рис. 3.5
РЕШЕНИЕ. В цепи резонанс токов. Входной ток I0 должен совпадать по фазе с входным напряжением U. Ток I1 должен отставать по фазе от напряжения на угол 900, а ток I2 опережать его на некоторый угол (см. векторную диаграмму на рис. 3.5, б).
Поскольку треугольник ОАВ - прямоугольный, то
.
Подставляя числовые значения, найдем:
.
Добротность параллельного контура (см. табл. 3):
Q = XC/R = I1/I0 = 4/3 = 1,33.