Найпростіші властивості еліпса

Властивість 1. Еліпс має що найменше дві осі симетрії і центр симетрії.

□ Дійсно,  якщо точка   належить еліпсу в канонічній системі координат, тобто  , то і точки  ,   і   належать еліпсу. А це означає, що осі координат канонічної системи координат є осями симетрії еліпса, а її початок координат – центром симетрії. ■

Зауваження. Можна показати, що еліпс, який не є колом має рівно дві осі симетрії.

 

Властивість 2. Еліпс перетинає осі симетрії у чотирьох точках.

□ В канонічній системі координат точки перетину еліпса з осями симетрії знаходяться з рівнянь   і   і мають, відповідно, координати  ,  , ,  . ■

Означення. Точки перетину еліпса з осями симетрії називаються вершинами еліпса.

Властивість 3. Еліпс є обмеженою фігурою, він міститься у прямокутнику зі сторонами   і  .

□ З рівняння еліпса маємо:   і  , або   і  . Останні нерівності визначають прямокутник зі сторонами   і  . ■

Отриманої інформації достатньо, щоб зобразити еліпс у канонічній системі координат, користуючись його властивостями. У I чверті дуга еліпса визначається рівнянням  , тобто є графіком деякої функції (рис. 19).

Скористувавшись наявністю двох осей симетрії, побудуємо увесь еліпс (рис. 20 і рис. 21). Параметри   і   називають півосями (  ‑ більшою,   ‑ меншою). Вони дорівнюють половинам відстаней між відповідними протилежними вершинами еліпса.

Форму еліпса характеризує параметр  . Він є коефіцієнтом стиснення кола, з якого можна отримати еліпс шляхом стиснення або розтягування. Більш зручним у дослідженнях є параметр  . Він називається ексцентриситетом еліпса. Ексцентриситет кола дорівнює 0.

Найпростіші властивості гіперболи

Аналогічно можна дослідити властивості гіперболи. Нехай дано рівняння гіперболи  ,  ,  . Відповідна система координат називаєтьсяканонічною.

Властивість 1. Гіпербола має щонайменше дві осі симетрії і центр симетрії.

Доведення аналогічно наведеному для еліпса. Спробуйте довести, що у гіперболи рівно дві осі симетрії.

Властивість 2. Гіпербола перетинає одну з осей симетрії в двох точках, які називаються вершинами; з другою віссю симетрії гіпербола не перетинається.

□ Точки перетину знаходяться з рівнянь  ,  . Тому вершинами гіперболи в канонічній системі координат є точки  ,  . ■

Властивість 3. Гіпербола має асимптоти, тобто прямі, до яких гіпербола необмежено наближається.

□ Розглянемо гіперболу в канонічній системі координат:  . Тоді  , а  . Якщо   набуває великі значення, то   мало відрізняється від  . Тому відстань від точок гіперболи до прямої  , або до прямої  , прямує до нуля, якщо точки гіперболи прямують до нескінченності. ■

Побудуємо гіперболу, скориставшись її властивостями. У I чверті дуга гіперболи визначається рівнянням   і має вигляд, показаний на рис. 22. Використовуючи осі симетрії гіперболи, отримаємо її повністю (рис. 23  і  24).

 

Параметри   і   також називають півосями гіперболи,   ‑ дійсною,   ‑ уявною. Параметр   називається ексцентриситетом. Він характеризує форму гіперболи.