Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 2. – М.: Высш. шк, 1978. гл. XVII, §119, §122.

2. Г. С. Ландсберг Г. С. Оптика, гл. 4, § 12, § 13, § 16; гл. 6, § 25, § 26, § 27.

3. Д. В. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Оптика. – М.:Высш. шк, гл. 3, § 26, § 27, § 33.

4. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс общей физики. – М.:Высш. шк., 2002. гл. 31.

Лабораторная работа № 3

Определение ширины дифракционной щели, периода дифракционной решетки и длины световой волны

Цель работы: ознакомление с действием на свет прозрачной дифракционной щели, дифракционной решетки, определение ее периода, а также длины световой волны.

Приборы и материалы: лазер гелий-неоновый с блоком питания, оптическая скамья, диафрагма с раздвижной щелью, диафрагма (держатель) с дифракционной решеткой, объектив, осветитель с лампой накаливания, две линейки с сантиметровыми и миллиметровыми делениями.

Краткая теория

Дифракция света проявляется в отклонении световых волн от прямолинейного распространения при прохождении света через малые отверстия или мимо краев непрозрачных тел (частиц), находящихся в оптически однородной среде. Дифракцию света можно наблюдать, если размеры препятствий или отверстий одного порядка с длиной световых волн или тогда, когда место наблюдения дифракции находится на большом расстоянии от препятствий или отверстий.

В основе понимания дифракционных явлений лежит принцип Гюйгенса - Френеля: каждая точка волновой поверхности может рассматриваться в качестве источника вторичных элементарных волн, амплитуды и фазы которых одинаковы для всех точек этой поверхности. Проведя огибающую всех вторичных волн, можно найти новое положение фронта волны (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Образование волновых поверхностей по Гюйгенсу

Это новое положение волновой поверхности является результатом интерференции вторичных волн, возникших в более ранний (предшествующий) момент времени. Колебания в любой точке среды есть результат наложения волн, пришедших в нее от множества вторичных источников, и представляют собой интерференционный эффект. При распространении световых волн свет наблюдается только там, где вторичные волны при интерференции не гасят друг друга.

Рассмотрение многих дифракционных явлений облегчается при использовании понятия зон Френеля. Пусть в некоторый момент времени волновой фронт, создаваемый источником света S, имеет форму сферы CC₁ (рис.3.2). Все точки волнового фронта являются когерентными источниками вторичных волн. Световые колебания в точке Р, находящиеся на расстоянии r₀ от фронта волны, являются результатом интерференции всех элементарных волн, приходящих в Р от отдельных элементов волнового фронта. По методу Френеля вокруг точки Р проводят ряд сферических поверхностей радиусами r₀, r₀ +/2, r₀ +2/2, r₀ +3/2, и т.д., которые вырезают на волновом фронте одну центральную зону в виде поверхности шарового сегмента и множество кольцевых зон. Полученные таким образом участки волновой поверхности и называют зонами Френеля. Так как расстояния от соседних зон до точки Р различаются на , то колебания от них доходят до этой точки в противоположных фазах, а так как площади зон практически одинаковы (это легко доказать), то колебания, поступающие в точку Р от двух соседних зон, почти полностью погашают друг друга (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Зоны Френеля

Значения амплитуд колебания вектора Е постепенно убывают по мере удаления зон от точки Р: E₁> E₂ > E₃ > E₄ и т.д. Этот ряд можно приближенно считать арифметической прогрессией, вследствие чего оказывается справедливым равенство E _{k –1} - E _k = E _k - E _{k +1}, откуда можно получить:

E _k  1/2 (E _{k -1} + E _{k +1}), отсюда

E _{k –1} - 2 E _k + E _{k +1}  0. (3.1)

Амплитуду результирующих колебаний в точке можно представить в виде:

E = E₁  E₂ + E₃  E ₄ + …. (3.2)

Здесь E₁ - амплитуда колебаний, возбуждаемых в точке Р действием центральной (первой) зоны Френеля, Е₂ -действием второй зоны и т.д. Равенство (3.2) можно представить в виде

E =E₁/2+ 1/2[(E₁ – 2E₂ + E₃) + (E₃ – 2E₄ + E₅) + …..]

Согласно равенству (3.1) каждое выражение в скобках практически равно нулю, то при полностью открытом волновом фронте получим:

E  E₁/2, (3.3)

т.е. амплитуда результирующих колебаний в точке Р равна половине амплитуды колебаний, доходящих до нее от одной лишь первой зоны. Это значит, что фактически до Р доходят колебания от 1/2 части первой центральной зоны. Т.к. размеры первой зоны очень малы, то можно считать, что свет от источника S до точки Р распространяется прямолинейно (в очень узком канале с прямой осью).

При частично открытом волновом фронте происходит нарушение прямолинейности распространения света, возникают различные явления.

Применим способ Френеля для определения интенсивности световых колебаний в некотором месте, находящемся за узкой плоской щелью.

Пусть на экран с прямой щелью падает плоская волна (рис.3.3) (щель освещается пучком параллельных лучей). АВ - изображение сечения щели, перпендикулярной плоскости чертежа, ширина щели - а. Образующиеся в разных точках щели элементарные сферические волны (они "сливаются" в цилиндрические волны) переносят колебания в разных направлениях. Выберем какое-нибудь направление распространения колебаний, например, на точку К_. АС - проекция щели на плоскость, перпендикулярную направлению на точку К_. Пусть в ВС укладывается m длин волн λ; тогда в щели укладывается 2m зон Френеля. Зоны имеют вид узких длинных полосок, простирающихся вдоль щели; при этом в точке К_ наблюдается полная темнота (абсолютный минимум). Если же в ВС укладывается нечетное число λ/2, т. е. BC = (2m +1)/2, то в точке К_ (например, экрана) наблюдается свет (освещенность, близкая к максимальной). Это объясняется тем, что в направлениях, для которых щель может быть разбита на четное число зон Френеля, происходит взаимное гашение световых колебаний, распространяющихся от щели АВ. Если же угол дифракции  имеет такое значение, что щель разбивается на нечетное число зон, то действие одной из зон сохраняется, и в избранном направлении будет виден свет. По мере увеличения угла  на всей щели будет укладываться все большее число зон; направления, в которых будут наблюдаться свет или темнота, будут чередоваться. Т.к. площади зон при увеличении угла уменьшаются, то и освещенность в побочных (все более далеких от середины дифракционной картины) максимумах будет постепенно убывать.

Рис. 3.3. Дифракционная щель

При  = 0 (точка К₀ лежит на перпендикуляре к щели в ее середине) все точки щели будут принадлежать одной и той же зоне, и поэтому волны придут в удаленную точку К_ в одной и той же фазе и максимально усилят друг друга; при этом получается максимум нулевого порядка. К нулевому максимуму примыкают с обеих сторон первые побочные максимумы, сливающиеся с ним; вместе с полосками промежуточной освещенности они образуют одну широкую световую полосу. Это дифракционное изображение щели простирается от ₁ = arcsin/а до -₁

Угловая ширина такого изображения равна

₁ = 2_I = 2arcsin(/a). (3.3)

Строгое решение задачи нахождения направлений, в которых получаются максимумы и минимумы, приводит к следующим результатам:

max: tg(аsin/) = аsin/

или аsin = m, где m = 0; 1,43; 2,46; 3,47; 4,48 и т.д.;

min: аsin = m, где m = 1; 2; 3; .. (3.4)

Последнее соотношение соответствует ранее проведенным рассуждениям относительно четного числа зон Френеля, укладывающихся в щели. Интенсивности главного и побочных максимумов относятся как

1: 0, 045: 0, 016: 0, 008 и т. д. (рис.3.4)

Рис. 3.4. Главные и побочные максимумы интенсивности

при дифракции на щели

Наиболее важное практическое применение имеет дифракция, наблюдающаяся при прохождении света через дифракционную решетку. Дифракционная решетка представляет собой систему параллельных узких щелей, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга. Дифракционные решетки изготавливаются с помощью делительной машины, наносящей штрихи (царапины) на стекле или другом прозрачном материале. Там, где проведена царапина, материал становится непрозрачным, а промежутки между ними остаются прозрачными и играют роль щелей.

Наряду с прозрачными используются также отражательные решетки, получаемые путем нанесения штрихов на зеркальную металлическую поверхность.

Если дифракционную решетку освещать пучком монохроматического света, то на экране, установленном на достаточно большом удалении за решеткой (или в фокальной плоскости линзы, поставленной сразу за решеткой), будет наблюдаться несколько узких полос ("линий"), разделенных темными промежутками. Пусть на дифракционную решетку падают плоские волны. Если волны падают нормально к плоскости решетки, то до всех щелей решетки синфазные колебания доходят одновременно; можно считать, что все щели излучают вторичные волны в одной и той же фазе. Каждая вторичная волна распространяется (имея цилиндрическую форму) от щели в разных направлениях. Из лучей, идущих от различных щелей можно выделить параллельно дифрагировавшие лучи, образующие с нормалью к решетке определенный угол  (рис. 3.5).

С

Рис. 3.5. Дифракционная решётка

Лучи каждой из групп (систем) собираются линзой Л в определенных точках экрана Э (например, в F_), расположенных в фокальной плоскости линзы, и интерферирующих между собой. Линза, как известно, обладает тем свойством, что лучи, вышедшие одновременно с одной волновой поверхности (или с поверхности АС, перпендикулярной дифрагировавшим под углом φ лучам), встречаются в определенной точке фокальной плоскости линзы через одинаковые промежутки времени(лучи AF_ и CF_); значит, в точке F_φ между колебаниями до нее вдоль лучей AF_φ и CF_ сохраняется разность фаз, имевшая между этими колебаниями в точках А и С, иначе говоря, оптические длины лучей AF_φ и CF_ оказываются одинаковыми (l_опт= nl_геом , где п = с/ - абсолютный показатель преломления прозрачной среды).

Лучи, доходящие от точек А и В дифракционной решетки (которые принадлежат соответствующим краям соседних щелей) до точки F_, характеризуются разностью хода

 BC = dsin , (3.5)

где d - период дифракционной решетки (постоянная решетки), равный сумме ширины прозрачного «а» и непрозрачного «b» промежутков (см. рис. 3.5).

Разности хода  соответствует разность фаз

. (3.6)

Если  = m (m = 0; 1; 2;.…), то  = 2m, и волны в точках А и С находятся в фазе и, приходя в точку F_, усиливают друг друга.

Поэтому условие образования максимумов интенсивности - результирующих колебаний (и максимумов освещенности экрана) таково:

dsin = m , (3.7)

где m - порядковый номер максимума.

Максимумы, удовлетворяющие условию (3.7), называются главными. Между главными соседними максимумами располагается (N - 2) вторичных максимумов, в которых интенсивность обычно настолько мала, что они практически не замечаются и не регистрируются. Между главными максимумами имеется также (N – 1) дополнительных минимумов (помимо тех "главных" минимумов, положение которых определяется условием asin = m, (m = ±1; ±2; ±3 и т. д.), справедливым для явления дифракции на щели. Направления, в которых наблюдаются дополнительные минимумы, т.е. в которых гасится свет, посылаемый различными щелями, определяются соотношением

dsin = m/N, (3.8)

где N- общее число щелей в решетке, a m' = l, 2, 3,... (N - l), (N +1),.. (m  kN).

На рис.3.6 проведена пунктирная линия, которая проходит через вершины "пиков", изображающих отдельные максимумы (узкие яркие полосы в дифракционной картине, создаваемой решеткой). Эта пунктирная линия изображает растянутый максимум нулевого порядка и два побочных максимума 1-го порядка, создаваемых отдельной щелью. Интенсивность колебаний от одной щели в таких максимумах описывается формулой

,

где I₀ - интенсивность света в середине дифракционной картины, I_ -интенсивность в точке экрана, положение которой определяется тем или иным значением угла , а  = (asin)/ (ширина отдельной щели - а). Высота "пиков", изображающих главные максимумы, должна быть в N² раз больше, чем на рисунке.

Рис. 3.6. Картина дифракционной щели

При освещении решетки монохроматическим светом на экране наблюдаются наиболее яркий максимум нулевого порядка (m = 0) и по обе стороны постепенно ослабевающие максимумы 1-го, 2-го и т. д. порядков.

Максимумы имеют вид очень узких полосок ("линий") одного и того же цвета. При освещении же решетки белым светом на экране с обеих сторон от нулевого максимума белого цвета видны симметрично расположенные разноцветные спектральные полоски.

Если используемый в работе с дифракционной решеткой свет имеет в своем составе несколько монохроматических компонент (т.е. спектр его является не непрерывным, а дискретным, линейчатым), то на экране наблюдаются не сплошные полоски, в которых цвета меняются от фиолетового до красного, а отдельные очень узкие спектральные "линии", окрашенные в разные цвета, соответствующие длинам волн монохроматических компонент света. Измерив эти длины волн, можно сделать вывод о химическом составе вещества. Поэтому дифракционные решетки используются в спектроскопах и спектрографах.

х₁

х₂

х₃

Рис. 3.7. Картина расчёта ширины дифракционной щели