3. Операторная, частотная и временная формы математического описания функционирования средств автоматики. Амплитудно-частотные, фазово-частотные, амплитудно-фазово-частотные характеристики.

Используемое в ТАУ математическое описание функционирования САР инвариантно к физической природе УО, АР и составляющих их звеньев и устройств, а также протекающих в них процессах изменения характеризующих их величин, в том числе контролируемых и регулируемых. Уравнения, описывающие функционирование УО, АР и, если нужна детализация, составляющих их звеньев и устройств, а также САР в целом связывают их входные-выходные величины с параметрами и топологией реализующих элементов, безотносительно к физической природе этих элементов и соответственно процессов изменения данных величин. Обобщенно указанные уравнения могут быть представлены в виде

Применяя преобразование Лапласа, которое при нулевых начальных условиях заключается в формальной замене символов дифференцирования с учетом показателя порядка соответствующими операторами: pⁿ и p^m, p^n-1 и p^m-1, … , p, а Х_ВЫХ(t) и Х_ВХ(t) их изображениями Х_ВЫХ(p) и Х_ВХ(p), можно записать его в операторной форме

Откуда

или, с учетом вводимого обозначения

которое в ТАУ называется передаточной функцией,

Таким образом функциональная взаимосвязь между Х_ВХ и Х_ВЫХ любого элемента САР в целом может быть представлена, в общем случае, дифференциальным уравнением во временной области или передаточной функцией в операторной форме, а принимая во внимание эквивалентность взаимозамены , то и передаточной функцией в частотной области: которая при изменении частоты от до определяет амплитудно-фазовую частотную характеристику устройства, имеющего данную передаточную функцию. Анализ свойств этой характеристики позволяет решать важные для теории и практики САР задачи, в частности устойчивости замкнутых САР и их коррекции. Не менее важную роль при разработке, проектировании и эксплуатации средств автоматики вообще и в том числе ЭЭС играют также амплитудно-частотная характеристика

и фазочастотная характеристика:

определяющие частотозависимые функции преобразования, соответственно величины и фазы Х_ВХ. В литературе эти характеристики (с целью упрощения и удобства их использования) часто приводятся и применяются в логарифмическом масштабе:

Обычно данный масштаб используется для логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ) и за единицу измерения принимается децибел:

При этом единицей измерения частоты служит ее десятикратное изменение – декада. Нередко, для упрощения, действительную ЛАЧХ заменяют ее асимптотической кусочно-линейной аппроксимацией – диаграммой Бодэ. Частоты, соответствующие точкам излома диаграммы Бодэ, называются сопрягающими, а частота, при которой – частотой среза.

Поскольку между дифференциальными уравнениями и передаточными функциями существует строгая математическая взаимосвязь, а любой сигнал путем разложения в ряд Фурье может быть представлен соответствующим спектром синусоидальных колебаний, сложный анализ процессов в устройствах автоматики на основе решения дифференциальных уравнений для большинства практических задач может быть заменен несложным анализом установившихся режимов при синусоидальных воздействиях. В связи с этим для изучения, проектирования, исследования и эксплуатации устройств автоматики существенное значение имеет умение определять передаточные функции звеньев и устройств разомкнутых или замкнутых САР в целом.