Вывод основного уравнения мкт

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной и одна частица массой в нём.

Обозначим скорость движения , тогда перед столкновением со стенкой сосуда импульс частицы равен , а после — , поэтому стенке передается импульс . Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой, равно .

Отсюда следует:

Так как давление , следовательно сила

Подставив, получим:

Преобразовав:

Так как рассматривается кубический сосуд, то

Отсюда:

.

Соответственно, и .

Таким образом, для большого числа частиц верно следующее: , аналогично для осей y и z.

Поскольку , то . Это следует из того, что все направления движения молекул в хаотичной среде равновероятны.

Отсюда

или .

Пусть — среднее значение кинетической энергии всех молекул, тогда:

, откуда .

Для одного моля выражение примет вид

Билет 21

Основным понятием динамики является взаимодействие тел и его характеристика − сила. Следовательно, для динамического описания движения жидкостей и газов необходимо рассмотреть взаимодействие различных частей жидкой среды между собой. при деформации жидкости (то есть изменении расстояния между молекулами) возникают силыупругости. Помимо межмолекулярных сил (сил давления, обусловленных  деформацией жидкости), на жидкость могут действовать и внешние силы, например, гравитационные (в частности, сила тяжести), инерционные, электрические, магнитные и т. д. Имеет смысл разделить эти внешние силы на две группы − объемные, действующие на все части жидкости, и поверхностные, действующие только на поверхность жидкости со стороны окружающих тел (например, стенок сосуда).

 1. Сила, с которой покоящаяся жидкость действует р на стенки сосуда, направлена перпендикулярно к этой стенке (рис. 189).

Докажем это утверждение методом от противного.  Пусть в некоторой части сосуда сила давления F_д, действующая на стенку, направлена под некоторым (не прямым) углом к последней. По третьему закону Ньютона, стенка действует на жидкость с силой F, равной по величине и противоположной по направлению: F = −F_д. Разложим эту силу на нормальную (направленную перпендикулярно стенке) F_n и тангенциальную (направленную по касательной к стенке) F_τ составляющие (рис. 190).

При наличии тангенциальной силы, действующей на  жидкость, жидкость, вследствие текучести, придет в движение. В состоянии равновесия таких сил быть не может. Следовательно, силы взаимодействия стенки и жидкости нормальны к стенке.

 2. Силы, действующие на границу мысленно выделенного объема неподвижной жидкости, перпендикулярны этой границе (рис. 191).

Это утверждение доказывается аналогично  предыдущему − методом от противного. Итак, вопрос о направлении сил  взаимодействия жидкости с сосудом и различных частей жидкости решается однозначно: эти силы направлены по нормали к границе раздела. Если внутри жидкости выделить некоторую малую площадку, то модуль силы, действующей на одну сторону этой площадки, не зависит от ее ориентации. Это свойство внутренних сил позволяет ввести скалярную силовую характеристику взаимодействий внутри жидкости − давление. Строго говоря, силы взаимодействия между различными частями  жидкости изменяются от точки к точке, поэтому изменение ориентации не малой Для площадки приведет к изменению силы, действующей на нее. малой¹ же площадки можно пренебречь изменением сил взаимодействия в ее пределах. Поэтому модуль рассматриваемой силы в этом случае оказывается пропорциональным площади. Следовательно, отношение модуля силы к площади площадки является характеристикой сил упругости внутри жидкости.  Давление − отношение модуля силы, действующей на выделенную малую площадку, к площади этой площадки:

Как мы уже отмечали,  жидкость может быть как сжата, так и растянута, поэтому силы давления (силы упругости), оставаясь нормальными, могут быть направлены в разные стороны от границы жидкости. Для указания направления можно указывать знак давления. Принято считать давление положительным, если сила давления жидкости направлена наружу от рассматриваемого объема, что соответствует сжатой жидкости, в случае же растянутой жидкости силы упругости направлены внутрь жидкости, поэтому давление такой жидкости считаетсяотрицательным. Понятно, что сила,  действующая на площадку, может зависеть от ее положения внутри жидкости, поэтому и давление может изменяться при переходе от одной точки объема жидкости к другой. В этом смысле давление следует рассматривать как точечную характеристику, то есть как функцию координат р(х, у, z).

Учитывая, что сила, действующая на малую площадку, направлена по нормали к  площадке, а ее модуль выражается из формулы (1), вектор силы можно записать в виде

где n − единичный вектор нормали к площадке. Для вычисления суммарной силы давления на  некоторую поверхность внутри жидкости необходимо разбить эту поверхность на малые участки (рис. 192),

вычислить силу, действующую на каждую площадку, и просуммировать все эти силы:

Продолжим рассмотрение  следствий из условий равновесия жидкости.

 3. Векторная сумма внешних сил, действующих на любую мысленно выделенную часть неподвижной жидкости, равна нулю. Это утверждение просто  повторяет общее условие равновесия любого тела, в том числе и жидкого.

 4. При отсутствии объемных сил, действующих на жидкость, давление во всех точках объема одинаково. Для доказательства этого положения мысленно  выделим внутри жидкости произвольно ориентированный узкий цилиндр (рис. 193).

Так как жидкость в выделенном объеме находится в  покое, то силы, действующие на основания цилиндра, равны по модулю и противо-положны по направлению: F₁ = F₂. Из этого соотношения и определения давления следует, что давления в точках оснований цилиндров равны. Аналогичные рассуждения справедливы для любого цилиндра, следовательно, давление во всех точках жидкости одинаково. Справедливо и  обратное утверждение.

 5. Если давление жидкости во всех точках одинаково, то суммарная сила, действующая на произвольную замкнутую поверхность, полностью находящуюся внутри жидкости, равна нулю. Выделим внутри объема жидкости произвольную  замкнутую поверхность. На каждый малый участок поверхности действует сила давления жидкости, направленная перпендикулярно данному участку. Докажем, что сумма проекций сил давления на произвольное направление (например, ось X) равна нулю. Для этого разобьем выделенную часть объема на узкие цилиндры, боковые поверхности которых параллельны выделенной оси (рис. 194).

На основания этих цилиндров действуют силы  давления, равные:

F₁ = pS₁, F₂ = pS₂, где S₁, S₂ − площади оснований цилиндров. Проекции сил на выбранное направление оси равны: F_1х = рS₁cosα₁, F_2х = −рS₂соsα₂,

где α₁, α₂ − углы между нормалями к основаниям и осью X. Теперь заметим, что  S₁cosα₁ = S₂cosα₂ = S_o, где S_o − площадь поперечного сечения выбранного цилиндра, поэтому F_1x + F_2х = 0.

Аналогичное  соотношение справедливо для всех цилиндров, на которые разбито тело, поэтому сумма проекций сил на ось X равна нулю. Так как ось X выбрана произвольно, то сумма проекций сил давления на любую ось равна нулю, следовательно, и векторная сумма рассматриваемых сил также равна нулю.

 6. Закон Паскаля. Давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью во все стороны одинаково. Данный закон  справедлив и в том случае, когда на жидкость действуют объемные силы. Пусть жидкость находится в сосуде под поршнем (рис. 195).

Приложим к поршню дополнительную нормальную силу  F. Под действием этой силы жидкость дополнительно сожмется, что приведет к увеличению давления. В состоянии равновесия эта дополнительная сила будет скомпенсирована равным увеличением силы давления на поршень со стороны жидкости. Следовательно, увеличение давления жидкости непосредственно под поршнем будет равно:

Δp_o = F/S_o, Выделим внутри жидкости произвольную  замкнутую поверхность, часть которой совпадает с поверхностью поршня. В состоянии равновесия сумма объемных сил F_об, действующих на выделенную часть жидкости, и поверхностных сил давления

равна нулю:

Дополнительная сила давления  на часть выбранной поверхности под поршнем должна быть скомпенсирована увеличением поверхностных сил давления на остальную поверхность. Обозначим увеличение давления вблизи части ΔS_i, поверхности − Δp_i. В состоянии равновесия должно выполняться соотношение, аналогичное (2):

Учитывая, что суммарная объемная сила не изменилась, из (2), (3) следует, что соотношение

должно выполняться для любой поверхности внутри объема жидкости, что возможно только в том случае, если величины Δpi одинаковы во всех точках жидкости, то есть Δp_i = Δp_o = F/S_o.

Отметим, что закон Паскаля можно  интерпретировать следующим образом: в состоянии равновесия изменение давления в одной точке жидкости приводит к равному изменению давления во всех остальных точках жидкости.

 7. В поле тяжести земли давление жидкости на глубине определяется по формуле p = ρgh, где ρ − плотность жидкости, g − ускорение свободного падения. Давление, определяемое формулой  (4), называется гидростатическим. Для вывода этой формулы достаточно  выделить внутри объема жидкости вертикальный цилиндр высотой h, верхнее основание которого площадью S находится на свободной поверхности жидкости, и рассмотреть условия его равновесия. Объемные силы, действующие на жидкость внутри выделенного цилиндра (в данном случае это сила тяжести mg = ρgV = ρghS), уравновешиваются силой давления на нижнее основание цилиндра pS. Из условия равенства этих сил следует формула (4).

 8. Закон Архимеда. На погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная суммарной объемной силе, действующей на жидкость в объеме тела. Доказательство этого закона достаточно просто. По своей природе  выталкивающая сила есть векторная сумма сил давления жидкости на поверхность тела. Следовательно, эта сила определяется  распределением давления жидкости вблизи поверхности тела. Мысленно уберем тело из жидкости, оставив только его «оболочку», которую заполним той же жидкостью. От такой замены суммарная сила давления на поверхность не изменится. С другой стороны, очевидно, что жидкость в объеме тела, находящаяся в такой же жидкости, будет находиться в равновесии. Поэтому суммарная сила давления будет равна по величине и противоположна по направлению объемной силе, действующей на жидкость в объеме тела. В частном случае, если единственной объемной силой является  сила тяжести и при постоянной плотности жидкости ρ выталкивающая сила (сила Архимеда F_A) по модулю равна силе тяжести, действующей на жидкость в объеме тела V и противоположна ей по направлению, то F_A = ρgV,

Заметим, что выталкивающая  сила появляется только в том случае, когда давление внутри жидкости различно в различных точках. В случае постоянного давления (каким бы большим оно не было) суммарная сила давления равна нулю. Различие давлений обусловлено только объемными силами, действующими на жидкость. Поверхностные силы, как было нами показано, не могут привести к возникновению разности давлений в различных точках жидкости. Допустим, что жидкость находится под поршнем − увеличение силы давления на поршень не приведет к увеличению выталкивающей силы, действующей на погруженное в жидкостьтело. Закон Архимеда формулируется так: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу того количества жидкости или газа, которое вытеснено погруженной частью тела.

Р ассмотрим теоретический вывод закона Архимеда. В сосуд (рис. 56) налита жидкость и погружено тело, имеющее форму куба. Ребро куба равно l. Верхняя грань куба находится от поверхности жидкости на глубине h, а нижняя - на глубине h+l. На все грани куба жидкость оказывает давление. При этом силы давления, действующие на боковые грани куба, взаимно компенсируются. На верхнюю грань куба действует направленная вниз сила давления F₁, модуль которой

F1=_жghS (5.6)

где _ж - плотность жидкости; S - площадь грани куба. На нижнюю грань куба действует направленная вверх сила давления F₂, модуль которой

F₂=_жg(h+l)S. (5.7)

Так как h<h+l, то F₁<F₂, т.е. равнодействующая этих двух сил направлена вертикально вверх и представляет собой выталкивающую (архимедову) силу:

F_A=F₂-F₁ (5.8)

Подставив (5.6) и (5.7) в (5.8), найдем, что модуль архимедовой силы

F_a=_жg_lS=_жgV=P_ж (5.9)

где V - объем куба (т. е. объем жидкости, вытесненной погруженным телом); P_ж - вес вытесненной жидкости. Следовательно, выталкивающая сила по модулю равна весу жидкости, вытесненной погруженной частью тела.

Архимедова сила F_A приложена к телу в центре масс вытесненной телом жидкости и направлена против силы тяжести, действующей на это тело. (Необходимо помнить, что закон Архимеда справедлив только при наличии тяжести. В условиях невесомости он не выполняется.)