№ Интерпретация параметров моделей с распределенным лагом.

Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:

Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент вре­мени t происходит изменение независимой переменной то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии при переменной  характеризует среднее абсолютное изменение уt при изменении  на 1 ед. свое­го измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x. Этот коэффици­ент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент  совокупное воздействие факторной перемен­ной  на результат , составит усл. ед.,  в момент (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной  в момент t на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результат через моментов времени на абсолютных единиц.

Введем следующее обозначение:  Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он по­казывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде  ре­зультата у под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Предположим

Назовем полученные величины относительными коэффициен­тами модели с распределенным лагом.  Зная величины , с помощью стандартных формул можно определить еще две важные характеристики модели множественной регрессии: величину среднего лага и медианного лага.

Сред­ний лаг определяется по формуле средней арифметической взве­шенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании резуль­тата на изменение фактора, тогда как высокое его значение гово­рит о том, что воздействие фактора на результат будет сказывать­ся в течение длительного периода времени.

№ Интерпретация параметров моделей авторегрессии.

Модели содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной называются моделями авторегрессии. Например,

Как и в модели с распределенным лагом,  и в этой модели характеризует краткосрочные изменения   под воздействием изменения  на 1 ед. Однако промежуточные и долгосрочные мультипликаторы иные.  К моменту времени  результат  изменился под воздействием изменения фактора в момент времени t  на  ед., а  под воздействием свого изменения в непосредственно предшествующий момент времени – на ед. таким образом, общее абсолютное изменение результата в момент  составит  ед. Аналогично в момент времени  абсолютное изменение результат составит ед. и т.д.

Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов: 

 где

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии  и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличие бесконечного лага в воздействии текущего знач. зависимой переменной на ее будущее значения.

Одним из возможных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоит в том, чтобы заменить переменную из правой части модели, для которой нарушаются предпосылки МНК, на новую переменную, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок. Применительно к моделям авторегрессии необходимо удалить из правой части модели переменную . Искомая новая переменная, которая будет введена в модель вместо  должна иметь два свойства. Во-первых, она должна тесно коррелировать , во-вторых, она не должна коррелировать с остатками . Еще один метод, который можно применять для оценки параметров моделей авторегрессии типа  — это метод максимального правдоподобия.

№ Обобщенная модель множ регрессии

Коренное отличие обобщенной модели от классической состоит только в виде ковариационной квадратной матрицы вектора возмущений: вместо матрицы Σ_ε = σ²E_n для классической модели имеем матрицу Σ_ε = Ω для обобщенной. Последняя имеет произвольные значения ковариаций и дисперсий. Например, ковариационные матрицы классической и обобщенной моделей для двух наблюдений (п=2) в общем случае будут иметь вид: Формально обобщенная линейная модель множественной регрессии (ОЛММР) в матричной форме имеет вид: Y = Xβ + ε                                                 (1) и описывается системой условий: 1.     ε – случайный вектор возмущений с размерностью n; X -неслучайная матрица значений объясняющих переменных (матрица плана) с размерностью nх(р+1); напомним, что 1-й столбец этой матрицы состоит из пединиц; 2.     M(ε) = 0_n – математическое ожидание вектора возмущений равно ноль-вектору; 3.     Σ_ε = M(εε’) = Ω, где Ω – положительно определенная квадратная матрица; заметим, что произведение векторов ε‘ε дает скаляр, а произведение векторов εε’ дает матрицу размерностью nxn; 4.     Ранг матрицы X равен р+1, который меньше n; напомним, что р+1 - число объясняющих переменных в модели (вместе с фиктивной переменной), n - число наблюдений за результирующей и объясняющими переменными.