Тема 5. Метод функций Грина.

Лекция 1. Функция Грина.

Рассматриваемые вопросы.

1. Функция Грина.

2. Однородная задача Дирихле на плоскости и в пространстве.

3. Электростаническая аналогия.

1) Пусть область ω имеет достаточно гладкую границу S и функция непрерывна вместе с производными до второго порядка включительно в замкнутой области Тогда имеет место интегральное представление

(1)

где Р₀ – внутренняя точка области ω. С другой стороны по второй формуле Грина

(2)

Если предположить, что v – гармоническая функция, то из (2) следует

(3)

Вычитая из (1)-(3), получим

(4)

где v – произвольная гармоническая функция.

Определение. Функцией Грина для задачи Дирихле называется

(5)

где v –гармоническая в ω функция. Так как первое слагаемое – есть просто фундаментальное решение уравнения Лапласа и не зависит от области то равенства (5) на самом деле определяют гармоническую в ω функцию v, которая на границе подчинена условию

.

Иными словами определение функции v связано с решением специальной задачи Дирихле:

. (6)

Если такая функция v найдена, то

(7)

Если функция найдена, то решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

определяется по формуле

(8)

Итак, для того, чтобы решить задачу Дирихле, хорошо бы найти функцию Грина для этой области.

В некоторых случаях (для некоторых областей) можно найти ее явное представление.

Замечание.

В двумерном случае

где v – гармоническая функция двух переменных.

Решение задачи Дирихле

дается формулой

.

2) Для некоторых областей функцию Грина удается найти в замкнутой форме методом электростатических отображений. В электростатической интерпретации функция Грина

представляет собой суммарный потенциал в точке Р заряда, помещенного в точке Р₀ внутри заземленной поверхности.

Первое слагаемое есть, очевидно, потенциал самого точечного заряда, а второе представляет потенциал зарядов индуцированных на проводящей поверхности. Ясно, что для построения функции Грина, надо уметь находить потенциал индуцированных зарядов . В свете такой интерпретации функцию Грина называют функцией точечного источника.

Примеры.

1. Функция Грина для шара

Пусть R – радиус шара, Р – любая точка на сфере, а во внутренней точке Р₀ помещен единичный заряд.

Н а проводящей сфере индуцируется заряд, потенциал которого равен потенциалу некоторого точечного заряда, помещенного в инверсионном образе N точки Р₀, относительно сферы так, что выполнено равенство:

Треугольники ОРР₀ и ОРN подобны (общий угол и стороны пропорциональны).

Поэтому

Пусть Тогда

(10)

Действительно, Очевидно гармонична по Р в замкнутом шаре. Если же точка Р лежит на сфере, то

Как видно из (10) функция Грина для шара есть потенциал электростатического поля, созданный двумя точечными зарядами.

2. Функция Грина для полупространства

В качестве области ω берем часть, где Граница S имеет уравнение В точке помещаем единичный заряд, который создает поле с потенциалом .

Внесение проводящей поверхности приводит к индуцированию зарядов, потенциал которых можно заменить потенциалом отрицательного единичного заряда, помещенного в точку

Суммарный потенциал

Рассмотрим задачу Дирихле для полупространства .

.

Ее решение:

или

3) Функции Грина для полушара.

где