Однородной линии
Напряжение ток в линии являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты χ, определяющей место наблюдения, и времени t, определяющего момент наблюдения. Здесь предполагается, что направление координатной оси χ совпадает с направлением оси линии.
Рис.11-2.Элементарный участок цепи с равномерно распределенными параметрами.
Нашей ближайшей задачей является нахождение пространственно-временного распределения величин тока в линии i(x,t) и напряжение между проводами u(x,t).При этом в общем случае может рассматриваться передача электромагнитной энергии по линии, когда источник и приемник имеются на обоих концах линии.
Выберем положительное направление тока в линии слева направо (рис. 11-2) и условимся называть «началом» линии левый конец, а «концом» линии- правый конец. Расстояние до произвольной точки линии от начала обозначим через χ , а от конца – через χ’ . Таким образом, вся длина линии l=x+x’
Выделим элементарный участок линии длиной ∆х, находящийся на расстоянии х от начала. Пользуясь первичными параметрами r,g,L, и С, отнесенными к единице длины линии, приближенно представим рассматриваемый элементарный участок линии в виде последовательно включенных сопротивления r∆x и индуктивности L∆x и параллельно включенных активной проводимости g∆x и емкости С∆х.
Обозначим:
u-напряжение между верхним и нижним проводами в точке х;
∆u- приращение напряжение на участке ∆х.
i - ток в точке х;
∆i - приращение тока на участке ∆х.
Уравнения для приращений напряжений и тока на элементе длины ∆х запишутся следующим образом:
-
.
∆u=(ri+Ldi/dt) ∆х;-∆i =[g(u+∆u )+C(∂( u+∆u ))/∂t] ∆х.
Ввиду наличия двух независимых переменных (х и t) уравнения записываются в частных производных.
По мере стремления ∆х к нулю степень точности этих уравнений повышается, причем величина второго порядка малости [g∆u +C(∂u )/∂t] ∆х в правой части нижнего уравнения (11-1) может быть опущена.
Итак, линя рассматривается как цепная схема с бесконечно большим числом звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.
Разделив обе части уравнений (11-1) на ∆х и перейдя к пределу ∆х=0, получаем дифференциальные уравнения линии:
.
Эти уравнения известны в литературе под названием телеграфных уравнений.
Если
за начало отсчета принять конец линии,
т.е. ввести координату χ’
,
то уравнения примут вид:
.
Уравнения (11-2) или (11-3) могут быть решены однозначно при использовании начальных и граничных условий. Начальными условиями будут значения напряжения и тока в начале или конце линии в момент времени, принятый за нуль. Граничные условия определяются связями между напряжением и током в начале или конце линии, зависящими от заданного режима работы линии.
Решение
указанных выше уравнений дает
функциональные зависимости напряжения
и тока в линии от переменных
(или
)
и
.
11-3. Синусоидальный режим в однородной линии
При
периодическом режиме под воздействием
приложенного к линии синусоидального
напряжения в любой точке линии напряжение
и ток изменяются синусоидально с частотой
источника. Обозначим комплексные
действующие значения напряжения и тока
на расстоянии
от начала линии через
и
.
Применяя комплексную форму записи, перепишем уравнения в комплексном виде:
(11-4)
.
Ввиду
того что комплексные значения
и
не зависят от
и являются только функциями
,
при переходе от уравнений (11-2) к (11-4)
частные производные по
заменены обыкновенными.
Исключая из системы (11-4) ток , получаем уравнение относительно :
(11-5)
Аналогично, исключая из (11-4) напряжение , получаем уравнение относительно :
(11-6)
Обозначим квадратный корень из комплексного множителя при или через
(11-7)
и назовем эту величину коэффициентом распространения. Смысл такого названия выяснится позже.
Итак, уравнения (11-5) и (11-6) записываются в виде:
(11-8)
(11-9)
Получились одинаковые однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Решение первого из них имеет вид:
Ток после этого получается подстановкой (11-9) в первое уравнение (11-4):
или
(11-10)
где
(11-11)
называется волновым сопротивлением линии.
Смысл такого названия объяснен дальше.
Подставив (11-7) в (11-9), получим:
Мгновенное
значение напряжения в точке
равно мнимой части выражения
:
(11-12)
здесь
и
– аргументы комплексных величин
и
.
Таким образом, мгновенное значение напряжения в любой точке линии слагается из двух функций.
Рассмотрим вначале первую из этих слагающих функций.
Если считать точку фиксированной и рассматривать изменение напряжения в данной точке в зависимости от времени, то первая слагающая выражения (11-12) представит собой синусоидальную функцию с постоянной амплитудой.
Если
же считать момент времени
фиксированным и рассматривать изменение
мгновенного напряжения вдоль линии
(т.е. в зависимости от
),
то получим затухающую синусоидальную
волну напряжения, амплитуда которой
убывает с ростом
,
т.е. по мере удаления от начала линии к
концу.
Величина
,
характеризующая изменение амплитуды
волны на единицу длины линии, называется
коэффициентом затухания, а величина
,
равная изменению фазы на единицу длины
линии, называется коэффициентом фазы.
Убывание амплитуды волны вдоль линии обусловливается потерями в линии, а изменение фазы – конечной скоростью распространения электромагнитных колебаний.
Оба
эти коэффициента
и
входят в комплексный параметр
,
который, следовательно, характеризует
распространение волны напряжения и
тока по линии.
На
рис. 11-3, а
буквой
обозначена длина волны напряжения,
равная расстоянию между двумя точками
линии, в которых фазы рассматриваемой
слагающей напряжения различаются на
.
Следовательно,
,
откуда
(11-13)
.Полученная формула выражает зависимость, существующую между длиной волны и коэффициентом фазы линии.
На
рис. 11-3, а
изображены волны напряжения, соответствующие
двум следующим друг за другом моментам
времени:
и
.
С течением времени волна перемещается от начала линии к ее концу; она носит название прямой, или падающей, волны.
Скорость перемещения падающей волны вдоль линии, называемая фазовой скоростью волны, определяется как скорость перемещения точки,
Рис. 11-3. Прямая (падающая) (а) и обратная (отраженная) (б) волны.
фаза колебания в которой остается постоянной. Это условие записывается для прямой волны в виде:
,
откуда
и
(11-14)
, следовательно,
.
Аналогичное исследование второго слагаемого выражения (11-12) показывает, что для произвольного момента времени оно представляет синусоидальную волну, амплитуда которой возрастает с увеличение , т.е. по мере удаления от начала линии к ее концу. С течением времени волна перемещается от конца линии к ее началу (рис. 11-3, б); она называется обратной, или отраженной, волной.
Фазовая
скорость обратной волны получается
равной
;
знак минус указывает, что обратная волна
движется в направлении, противоположном
направлению прямой волны.
Итак, мгновенное напряжение можно рассматривать как сумму двух волн, движущихся в противоположных направлениях, причем каждая из этих волн затухает в направлении движения.
На основании (11-13) и (11-14)
(11-15)
т. е. за время, равное одному периоду, как падающая, так и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волны.
Линии, физическая длина которых соизмерима с длиной волны, считаются длинными линиями. При достаточно высоких частотах практически любая протяженная электрическая цепь становится «длинной» по отношению к длине волны.
Как
будет показано ниже, фазовая скорость
в воздушной линии близка к скорости
света (
м/сек),
и поэтому частоте 50 гц
будет соответствовать длина волны 6000
км,
а частоте
гц
– длина волны 10 см.
Следовательно, в первом случае длинной
линией будет линия, измеряемая многими
сотнями или тысячами километров, а во
втором случае – цепь протяженностью в
несколько сантиметров.
Возвращаясь к уравнениям (11-9) и (11-10) и записывая прямую и обратную волну в комплексной форме, имеем:
,
где
.