5.3. Классический метод анализа

Данный метод сводится к составлению и решению дифференциального уравнения, устанавливающего связь между откликом и воздействием. Порядок применения метода следующий.

1) составление дифференциального уравнения и приведение его к стандартному виду.

Уравнение составляется на основе законов Ома и Кирхгофа, а также с использованием метода контурных токов, узловых потенциалов и других. При составлении уравнения используют следующие соотношения:

; (5.1а)

; (5.1б)

. (5.1в)

При составлении уравнения за неизвестные принимают переменные состояния цепи, т.е. величины, которые отражают энергетическое состояние цепи. К ним относят u_C и i_L. Составленные уравнения цепи после преобразований, приведения подобных членов и дифференцирования сводят к неоднородному линейному уравнению.

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ):

, (5.2)

где y(t) – отклик; х(t) – воздействие; a_i – постоянные, зависящие от R, L, C;

n – порядок дифференциального уравнения (ДУ). Порядок ДУ зависит от числа реактивных элементов и схемы их соединения. В простейшем случае число реактивных элементов равно n.

2) Запись общего решения ЛНДУ.

Оно состоит из суммы двух составляющих:

y(t) = y₁(t) + y₂(t).

y₁(t) – общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, когда f = 0. Это решение не зависит от воздействия (x) и называется свободной составляющей общего решения, которое известно и равно:

,

где p_i – корни характеристического уравнения, A_i – постоянные интегрирования. Характеристическое уравнение получается из дифференциального путем замены производных на алгебраическую переменную p в степени, соответствующей порядку производной ( на ):

y₂(t) – это частное решение НЛДУ, оно зависит от x(t), а потому называется вынужденной составляющей общего решения.

3) Нахождение вынужденной составляющей y₂(t).

Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает, поэтому вынужденная составляющая y₂(t) при t представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации. Для ее нахождения можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа цепей в установившемся режиме.

4) Нахождение корней p_i характеристического уравнения.

5) Нахождение постоянных интегрирования A_i.

Постоянные интегрирования общего решения определяются из начальных условий (при t = 0) для искомой функции и ее производных:

; ; .

Конкретные значения этих функций при t = 0 находят из схем замещения исходной цепи при t = +0 с учетом законов коммутации для L, C-элементов. Если входной сигнал – ступенчатая функция, то мгновенному изменению входного сигнала при t = 0 соответствует гармонический сигнал с   , а потому искомые значения находят из схемы замещения исходной цепи при   .

6) Анализ корней характеристического уравнения и запись окончательного решения.

5.4. Переходные характеристики цепей первого порядка.

Цепи первого порядка содержат только один энергоемкий элемент – емкость или индуктивность – и описываются дифференциальными уравнениями первого порядка. Откликом можно считать ток в любой интересующей нас ветви или напряжение на любом интересующем нас элементе. Соответственно, можно рассматривать различные переходные характеристики.

Интегрирующая RC-цепь.

Цепь, состоящая из RC-элементов и приведенная на рис. 5.1 называется интегрирующей RC-цепью.

Рис. 5.1

Установим связь между выходным u₂ и входным u₁ напряжениями, считая входной сигнал u₁ произвольным. Используя второй закон Кирхгофа и соотношения между напряжениями и токами на элементах схемы, запишем:

Подставим полученные напряжения в первое выражение:

.

Если R >> , то R = или .

Последнее означает, что выходной сигнал есть интеграл от входного сигнала. Отсюда и название этой цепи – интегрирующая цепь.

Рассмотрим по входному сигналу два частных случая.

А ). Переходная характеристика. Пусть входной сигнал – ступенчатое напряжение амплитудой Е (рис. 5.2) . Используя классический метод, определим отклик цепи при нулевых начальных условиях.

1) Составим дифференциальное уравнение и приведем его к стандартному виду

.

2) Запишем общее решение:

u₂(t) = Ae^pt + u₂()

3) Найдем коэффициент р – корень характеристического уравнения

RCр + 1 = 0.

Отсюда р = – (RC)^–1.

4) Найдем вынужденную составляющую общего решения

E E u2(0) = 0 u2() = E а б

Рис.5.3

Вынужденную составляющую находим в стационарном (установившемся) режиме, который имеет место, когда t  ∞. В этом случае входной сигнал – постоянное напряжение величины , ему соответствует гармонический сигнал с нулевой частотой ω = 0, так как = cos ωt|_(ω=0). При таких условиях наличие индуктивности равносильно короткому замыканию (Х_L = ωL), а емкости – разрыву цепи (Х_С = (ωС)^–1).

Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения исходной цепи при ω = 0 (рис. 5.3а). Из схемы следует, что u₂() = Е.

Отсюда р₁= –(RC)^–1.

5) Найдем постоянную интегрирования A.

Ее находим из общего решения при t  0 и схемы замещения исходной цепи при t  0 (ω  ∞) (рис.5.3б). Запишем уравнение, откуда и найдем А

u₂(0)=A +E =0; A = –E.

6) Запишем общее решение:

.

Выходное напряжение представляет собой импульс, характеризующийся двумя параметрами: амплитудой Е и постоянной времени цепи τ=RC.

E t 1 2 0,63 E

Рис. 5.4

Определим выходной сигнал при t = τ:

.

Отсюда следует, что постоянная времени – это время, за которое импульс, возрастая по экспоненциальному закону, изменяется от 0 до уровня 0,63 от своего стационарного значения Е (рис. 5.4).

И

0,63E

ногда пользуются третьим параметром. t_уст – время установления выходного напряжения. Это время, за которое сигнал достигает своего стационарного значения с заданной точностью от амплитуды импульса. Так, время установления на уровне 0,9 и 0,95 составляет t_уст 0,9 = 2,3τ; t_уст 0,95 = 3τ.

Переходная характеристика выходного напряжения h_u2 по определению равна

Переходная характеристика входного тока будет, соответственно,

С(du_Cc/dt)/E=

При воздействии ступенчатым напряжением h_i имеет размерность проводимости и называется переходной проводимостью.

Б). Отклик на прямоугольный импульс (рис. 5.5) амплитудой Е и длительностью t_и. Такой импульс представляет собой суперпозицию двух ступенчатых сигналов и записывается как

.

E u1 t	E E E t t t u1 u1 u1 u2 u2 u2  << tи  >> tи  ~ tи а б в
Рис. 5.5		Рис. 5.6

Зная отклик на ступенчатый сигнал и используя принцип суперпозиции, можно записать аналитическое выражение для выходного сигнала:

L R

Рис. 5.7

.

На рис. 5.6 показаны три временных диаграммы выходного сигнала при различных соотношения между τ и t_и.

Аналогичными свойствами обладает цепь, состоящая из RL-элементов (рис. 5.7). Она называется интегрирующей RL-цепью. Постоянная времени этой цепи =L/R.

Дифференцирующая RC-цепь

Р ассмотрим RC-цепь, представленную на рис.5.8, на вход которого подается ступенчатое напряжение амплитудой Е: (рис. 5.2). Используя классический метод, определим отклик цепи при нулевых начальных условиях.

Используя второй закон Кирхгофа и соотношения (5.1), устанавливающие связь между напряжениями и токами на элементах схемы, запишем

Подставим полученные напряжения в первое выражение, умножим на RC и продифференцируем один раз по времени

Если в этом соотношении считать, что . Последнее означает, что выходной сигнал есть производная от входного сигнала, поэтому эта цепь называется дифференцирующей цепью.

Общее решение уравнения имеет вид

u₂(t) = Ae^pt + u₂()

Коэффициент р является корнем характеристического уравнения

RCр + 1 = 0.

Отсюда р = – (RC)^–1.

Вынужденную составляющую находим в стационарном (установившемся) режиме, когда t  ∞. В этом случае входной сигнал – постоянное напряжение величины , ему соответствует гармонический сигнал с нулевой частотой ω = 0, так как E = E cos ωt|_(ω=0). При таких условиях наличие индуктивности равносильно короткому замыканию (Х_L = ωL), а емкости – разрыву цепи (Х_С = (ωС)^–1).

Для нахождения вынужденной составляющей составим схему замещения исходной цепи при ω = 0 (рис. 5.9). Из схемы следует, что u₂(∞)= 0.

Найдем постоянную интегрирования A.

Постоянные интегрирования находят из начальных условий для искомой функции и ее производных (при t = +0). Значения токов и напряжений в начальный момент времени после коммутации (при t = +0) определяют из схемы замещения исходной цепи, образованной после коммутации (с учетом законов коммутации) по законам Кирхгофа. При нулевых начальных условиях наличие индуктивности равносильно разрыву цепи (i_L(–0)=i_L(+0)=0), а емкости – короткому замыканию (u_c(–0) = u_c(+0)=0).

Аналогичную схему замещения можно получить, если считать, что ступенчатому сигналу в начальный момент времени (t=+0) соответствует гармонический с бесконечно большой частотой (ω  ∞).

Для дифференцирующей RC-цепи схема в момент после коммутации (при t = +0, ω  ∞) приведена на рис. 5.10, а постоянную A находят подставляя в общее решение t=0 и u₂():

Рис. 5.11

u₂(0)=A₁= .

6) Запись общего решения:

.

Выходное напряжение представляет собой экспоненциальный импульс, который характеризуется двумя параметрами (рис.5.11):

1) Е – амплитуда импульса;

2) τ – постоянная времени цепи. Определим выходной сигнал при t = τ.

.

Отсюда следует, что постоянная времени – это время, за которое импульс, убывая по экспоненциальному закону, изменяется от Е до уровня 0,37Е (т.е. убывает в е = 2,71 раза).

Иногда пользуются третьим параметром: t_уст – время установления выходного напряжения, это время, за которое сигнал достигает своего стационарного значения с заданной точностью от амплитуды импульса. Так, время установления на уровне 0,1 и 0,05 составляет t_уст 0,1 = 2,3τ; t_уст 0,05 = 3τ.

Переходная характеристика выходного напряжения h_u2 по определению равна

Зная решение для интегрирующей цепи, можно сразу получить решение для дифференцирующей цепи и наоборот, поскольку u₁(t)=u_C+u_R. В частности, когда u₁(t)=E1(t)

u_R =E-E(1-e^-t/)=E e^-t/.

Б). Пусть входной сигнал – одиночный прямоугольный импульс (рис. 5.12) амплитудой Е и длительностью t_и. Такой импульс представляет собой суперпозицию двух ступенчатых сигналов и записывается как

.

Зная отклик на ступенчатый сигнал и используя принцип суперпозиции, можно записать аналитическое выражение для выходного сигнала:

.

На рис 5.13 показаны три временные диаграммы выходного сигнала при различных соотношения между τ и t_и.

E

u₁

t

E

E

E

–E

–E

–E

t

t

t

u₁

u₁

u₁

u₂

u₂

u₂

t_и

t_и

t_и

<< t_и

 >>t_и

 ~ t_и

а

б

в

t_и

Рис. 5.12 Рис. 5.13

В зависимости от соотношения между τ и t_и эта схема имеет три названия.

Если τ << t_и, то цепь называется дифференцирующей RC-цепью (рис. 5.13 а).

Если τ ≈ t_и, то цепь называется укорачивающей RC-цепью (рис. 5.13б).

Если τ >> t_и, то цепь называется разделительной RC-цепью (рис. 5.13 в).

Рассмотрим процессы, протекающие в цепи при воздействии на вход прямоугольного импульса при нулевых начальных условиях u_c(–0) = 0.

Напряжения на элементах связаны вторым законом Кирхгофа: u₁ = u_c + u_R.

При t < 0 u₁ = 0, u_С = 0, следовательно, u_R = 0. Это исходное состояние.

При t = +0 u₁ = Е, u_С = 0, E = 0 + u_R. Следовательно, u_R = Е.

При t > 0 E = u_c + u_R. Происходит заряд конденсатора.

С током i_зар заряда напряжение на нем возрастает, а на резисторе (на выходе) убывает от Е к нулю.

При t = t_и–0 E = u_C(t_и)_,+ u_R(t_и)_,. К моменту окончания импульса u_С = u_С(t_и)_, u_R = Е – u_С(t_и).

При t > t_и+0 u₁ = 0 = u_c + u_R.. Следовательно, u_R = –u_c. Поэтому знак выходного напряжения меняется на противоположный.

u1(t) i(t) R L u2(t)

Рис. 5.14

При t > t_и u₁ = 0 , u_R = –u_c. Происходит разряд конденсатора С током i_разр разряда, напряжение на нем убывает, убывает и напряжение на резисторе (на выходе) от –u_c(t_и) к нулю.

Цепь, состоящая из RL-элементов (рис5.14), выполняет аналогичные преобразования над входными сигналами и называется дифференцирующей RL-цепью.