15.Формула повної ймовірності. Формула Бейеса.
1.Формула повної ймовірності
Ймовірність події А, яка може настати лише за умови появи однієї із попарно не сумісних подій повної групи Н, визначається за формулою:
Р(А)=Р(Н1)Р H1(А)+Р(Н2)РH2(А+…+Р(Нn)РHn(А), або Р(А)=∑Р(Hi)РHi(А).
Формула називається формулою повної ймовірності. Події Ні називають гіпотезами; Р(Ні) – ймовірність гіпотез
2.Формула Байеса Формула повної ймовірності дає можливість встановити ймовірність появи події А, не виясняючи,яка з подій Н викликала подію А. Але якщо подія А відбулася, то можна зацікавитися питанням вияснення “винуватця”, тобто вияснити ймовірність, того, що подія Ні визвала появу події А.
Теорема. Для будь-якої випадкової події А, для якої Р(А) ≠0, і яка може з’явитись лише за умови появи однієї з попарно несумісних випадкових подій Н1, Н2,…,Нn, що складають повну групу подій, виконується рівність: РA(Нi)=Р(Нi)РHi(А)/Р(А). Оскільки подія А трапилася з однією із подій групи Н, то ∑РA(Нi)=1.
16. Формула Бернулі. Найймовірніше число “успіхів” у схемі Бернулі.
Формула Бернуллі - формула в теорії ймовірностей, що дозволяє знаходити ймовірність появи події A при незалежних випробуваннях. Формула Бернуллі дозволяє позбутися значної частини обчислень - додавання і множення ймовірностей - при досить великій кількості випробувань. Названа на честь видатного швейцарського математика Якоба Бернуллі, що вивів формулу.
Теорема:
Якщо ймовірність p настання події Α в
кожному випробуванні постійна, то
ймовірність
того, що подія A настане k раз в n незалежних
випробуваннях, дорівнює:
,
де
.
Найймовірніше число “успіхів” у схемі Бернулі
Біноміальний
розподіл (розподіл за схемою Бернуллі)
дозволяє, зокрема, встановити, яка
кількість появ події А найбільш ймовірно.
Формула для найбільш ймовірного числа
успіхів K
(появ події) має вигляд:
,
то
ці межі відрізняються на 1. Тому K,
що є цілим числом, може приймати або
одне значення, коли NP
ціле число (K
= NP),
тобто коли NP
+ P
(а звідси і NP
- q)
неціле число, або два значення, коли NP
- q
ціле число.
17.Теорема Пуассона
Гранична теорема теорії ймовірностей , що є часним випадком закону великих чисел. Вона узагальнює теорему Бернуллі на випадок незалежних випробувань, ймовірність появи в котрих якоїсь події залежить від номеру випробувань.
Формулювання
: якщо в послідовності незалежних
випробувань подія А виникає з ймовірностями
,
що залежать від номеру випробувань k,
k=1,2,…,
/n-частота
А у випробуваннях, то при будь-якому е>0
ймовірність нерівності
буде
прямувати до 1 при
.
18. Локальна теорема Муавра-Лапласа. Функція Гаусса.
Рассмотрим последовательность из n независимых опытов, в каждом из которых событие A может произойти с вероятностью p, либо не произойти — с вероятностью q = 1 − p. Обозначим через Pn(k) вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных.
В таком случае величину Pn(k) можно найти по теореме Бернулли (см. урок «Схема Бернулли. Примеры решения задач»):
Эта теорема прекрасно работает, однако у нее есть недостаток. Если n будет достаточно большим, то найти значение Pn(k) становится нереально из-за огромного объема вычислений. В этом случае работает Локальная теорема Муавра — Лапласа, которая позволяют найти приближенное значение вероятности:
Теорема
Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число n велико, а число p отлично от 0 и 1, тогда:
Функция φ(x) называется функцией Гаусса. Ее значения давно вычислены и занесены в таблицу, которой можно пользоваться даже на контрольных работах и экзаменах.
Функция Гаусса обладает двумя свойствами, которые следует учитывать при работе с таблицей значений:
φ(−x) = φ(x) — функция Гаусса — четная;
При больших значениях x имеем: φ(x) ≈ 0.
Локальная теорема Муавра — Лапласа дает отличное приближение формулы Бернулли, если число испытаний n достаточно велико. Разумеется, формулировка «число испытаний достаточно велико» весьма условна, и в разных источниках называются разные цифры. Например:
Часто встречается требование: n · p · q > 10. Пожалуй, это минимальная граница;
Другие предлагают работать по этой формуле только для n > 100 и n · p · q > 20.