Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке
Рассмотрим основные закономерности истечения жидкости из сосуда через малое отверстие в его стенке, которую будем считать тонкой. Предположим также, что площадь отверстия много меньше площади свободной поверхности жидкости в сосуде, вследствие чего скоростью опускания этой поверхности можно пренебречь, а само истечение считать установившимся.
Воспользуемся уравнением Бернулли, применив его к жидкости, расположенной между сечениями 1 - 1 и 2 – 2, рис. 10.1. Первое из них совпадает со свободной поверхностью жидкости, второе выбрано в том месте вытекающей струи, где она становится цилиндрической. Подчеркнем, что в цилиндрической части струи скорости жидкости считаются равными друг другу, а давление вдоль сечения остается постоянным, равным его значению на поверхности струи. Имеем:
(10.1)
Здесь
давление на свободной поверхности
жидкости в сосуде;
давление в той среде, в которую происходит
истечение.
Скорость
жидкости
на свободной поверхности, в силу
сделанного предположения, пренебрежимо
мала:
;
скорость истечения
в дальнейшем будем обозначать просто
.
Потери
напора связаны с диссипацией механической
энергии за счет сил внутреннего вязкого
трения во всем объеме жидкости в сосуде,
а также с дополнительными местными
потерями, возникающими в самом отверстии.
Если пренебречь первыми из них, так как
скорости жидкости в сосуде невелики,
то
можно записать в следующем виде:
(10.2)
где
— коэффициент местного сопротивления
отверстия, тогда
(10.3)
Введем
в рассмотрение параметр
,
называемый коэффициентом
скорости и
определяемый равенством
,
(10.4)
тогда равенство (10.3) можно переписать в следующем виде:
(10.5)
Формула служит для вычисления скорости истечения жидкости через малое отверстие при постоянном напоре. Коэффициент скорости , входящий в эту формулу, зависит от числа Рейнольдса, которое в данном случае можно определить формулой
в
которой
диаметр отверстия;
кинематическая вязкость жидкости;
напор в середине отверстия;
характерная скорость. Однако эксперименты
показывают, что при больших
эта зависимость практически исчезает,
и значение коэффициента
становится постоянным, близким к единице:
;
В
то же время для малых значений
зависимость
от
необходимо учитывать.
Если
,
т.е. давление на свободной поверхности
жидкости и давление в среде, в которую
эта жидкость вытекает, равны друг другу,
то формула (10.5) упрощается и приобретает
вид:
.
(10.6)
Если
,
то из (10.6) получается известная формула
Торричелли:
,
(10.7)
которая утверждает, что в рамках сделанных предположений скорость истечения жидкости из малого отверстия в сосуде равна скорости свободного падения материальной точки в пустоте с высоты .
Вычислим
расход жидкости. Поскольку скорости
частиц в цилиндрической части струи
одинаковы, то расход
жидкости рассчитывается по следующей
формуле:
(10.8)
Если
обозначить через
коэффициент сжатия струи, то площадь
сжатого сечения струи жидкости и площадь
отверстия
связаны: соотношением
.
Поэтому формула (10.8) может быть записана
по-другому:
.
Произведение
называют коэффициентом
расхода и
обозначают буквой
:
Окончательно формула для расхода жидкости через малое отверстие принимает вид:
(10.9)
В
общем случае коэффициент расхода, так
же как и коэффициент скорости, зависит
от режима истечения, определяемого
числом Рейнольдса
.
При больших числах
коэффициент
расхода изменяется незначительно. Так,
например, для воды, нефтепродуктов,
газового конденсата, многих нефтей и
других и не слишком вязких жидкостей
.
Для вычисления коэффициента
расхода при
проф. А.Д.
Альтшуль
предложил эмпирическую формулу
.
(10.10)