2) Второе достаточное условие

     Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

3) Третье достаточное условие

     Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки   N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:

а) Если N - четно, то точка   экстремум функции: у функции точка максимума,   у функции точка минимума.

б) Если N - нечетно, то в точке  у функции g(x) экстремума нет.

20. График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

21. Пусть функция f (x) непрерывна в точке   и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка   называетсяточкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если   – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то 

22. Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке   Если   меняет знак при переходе через точку   то   – точка перегиба функции f (x).

Если     то   – точка перегиба функции f (x).

 

В заключение приведем примеры, когда точка x₀ не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:

• если функция разрывна в точке   (например      );

• в случае угловой точки (например,    

Функции нескольких переменных

24. Линии и поверхности уровня. Линией уровня функции двух переменных   называется геометрическое место точек на плоскости    , в которых функция     принимает одно и то же значение. Линии уровня функции  определяются уравнением   , где  . Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику. Поверхностью уровня функции трех переменных     называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция   принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид:   . Поскольку график функции трех переменных нам недоступен, поверхности уровня являются единственным средством изучения таких функций..

26. Определение 2. Функция u=f(M) называется непрерывной на множестве  , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Условию непрерывности можно придать разностную форму.

Пусть  , тогда условие непрерывности имеет вид:

.

27. О: Частным приращением функции z = (х, у) по х называется разность частным приращением по

О: Частной производной по х от функции z = (x, у) называется предел отношения частного приращения к приращению Ах при стремлении последнего к нулю:

Другие обозначения: Аналогично и для перемен-

ной у.

28. Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

29. Пусть дана функция   Предположим, что оба ее аргумента x и y получают соответственно приращения  и  . Тогда функция   также получает приращение,  , которое называется полным приращением функции.

Функция  называется дифференцируемой в точке  , если ее полное приращение можно представить в виде   где  –произвольные приращения аргументов x и y в некоторой окрестности точки  , A и B–постоянные (не зависят от  ),  –бесконечно малая более высокого порядка, чем  – расстояние между точками   и  .

Главная часть приращения функции  , линейная относительно   и  , называется полным дифференциалом этой функции (обозначается dz,  ).

30. определение. Если существует   = = , то он называется частной производной (первого порядка) функции z = f (x, y) по переменной x и обозначается  =  =z'_x = f_x' (x, y).

Аналогично определяется частная производная по переменной y:

 =   =   = = z'_y = f_y(x,y).

31. СМЫСЛ. Рассмотрим семейство линий уровня функции  :

Нетрудно показать, что градиент функции   в точке   перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности  , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.

градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.

Пространство, на котором определена функция и её градиент может быть вообще говоря как обычным трехмерным пространством, так и пространством любой другой разменности любой физической природы или чисто абстрактным.

Интегральное исчисление

32.