31. Вимушені коливання, резонанс

У всіх реальних коливних системах, в результаті дії сил опору та тертя коливання загасають. Однак в техніці часто буває необхідним, щоб коливання не загасали. Для цього треба підводити енергію до коливної системи, щоб компенсувати втрати. Це можна реалізувати, прикладаючи до тіла періодичну зовнішню сила, робота якої буде компенсувати втрати.

Коливання, які відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили, називаються  вимушеними.  Найпростішим є випадок, коли вимушуючи сила змінюється за гармонічним законом:

Якщо сила діє вздовж осі OX, то рівняння руху точки маси m   матиме вигляд:

а в канонічній формі

(20.50)

де  f₀ = F₀/m, а решта позначень відповідає тим, що були введені раніше для вільних загасаючих коливань. Вираз (20.50) є неоднорідним^[1] диференціальним рівнянням другого порядку. В теорії диференціальних рівнянь показано, що його розв’язок є сумою розв’язку відповідного однорідного рівняння та окремого розв’язку неоднорідного рівняння. Як відомо розв’язком однорідного рівняння є функція (20.41). Під дією ж гармонічної сили тіло повинно здійснювати гармонічні коливання, щоправда,  в силу інертності ці коливання будуть відставати по фазі від змін сили. Таким чином, окремим розв’язком рівняння (20.50) повинна бути функція

(20.51)

де амплітуда визначається виразом

(20.52)

а зсув фаз між вимушуючою силою та зміщенням точки 

(20.53)

Таким чином, результуючий рух є сумою функцій (20.51) та (20.41). Доданок (20.41) відіграє роль тільки на початковій стадії процесу, при так званому встановленні коливань (рис. 20.14). Надалі, у зв’язку із наявністю множника   , роль доданка (20.41) зменшується і через час релаксації     (    час релаксації) ним практично можна знехтувати і залишати тільки доданок (20.51), тобто вимушені коливання є гармонічними, які відбуваються з частотою вимушуючої сили, але вони відстають по фазі від сили.

Графіки залежності     для різних      показані на рис. 20.15. З нього видно, що ця залежність має максимум при частоті   .  Різке зростання амплітуди коливань при наближенні частот вимушуючої сили до    називають резонансом, а частоту  ,  при якій досягається максимум зміщення,  резонансною частотою. Її значення легко визначити, проаналізувавши (20.52) на максимум.  В результаті одержимо:

(20.54)

Зауважимо, що при слабкому загасанні (  )  ,  а при     амплітуда коливань в резонансі прямує до нескінченості.

Резонанс відіграє дуже важливу роль у найрізноманітніших явищах. Він може бути як корисним, так і шкідливим. Наприклад, на явищі резонансу ґрунтується дія язичкового частотоміра, який застосовується для контролю частоти змінного струму. У техніці використовують резонансні машини, призначені для випробування міцності матеріалів. Використовують резонанс в акустиці, електро- та радіотехніці тощо.

З іншого боку, неврівноваженість машин і двигунів буває причиною того, що під час їх роботи виникає періодична сила, яка діє на опору машини, фундамент, корпус корабля і т.д. Період сили може збігатися з власним періодом коливань опори, або з періодом коливань згину вала, або з періодом крутильних коливань цього вала. Настає резонанс, при якому руйнується фундамент, ламається вал. У всіх таких випадках вживають спеціальних заходів, щоб уникнути резонансу або послабити його дію.

 

^[1] Неоднорідним називають диференціальне рівняння, у якого права частина не рівна нулю.