Швидкість механічних хвиль

У випадку механічних хвиль функція  в рівняннях хвилі (22.2), або (22.9) чи (22.9а) визначає зміщення частинок середовища з положення рівноваги. При цьому швидкість та прискорення коливального руху частинок середовища визначаються похідними від    як  . Для плоскої монохроматичної хвилі (22.2)

		(22.15)
		(22.16)

Отже, рух частинок середовища визначається тільки джерелом хвилі, бо тільки воно задає частоту .

На відміну від цього, швидкість поширення хвилі залежить від властивостей середовища та типу хвилі. А саме. У твердому тілі фазова швидкість поздовжніх хвиль визначається формулою

(22.17)

де    густина речовини, Е  модуль Юнга, який визначає пружні властивості тіла при деформаціях стискання та розтягу.

Швидкість поширення поперечних хвиль

(22.18)

де G  модуль зсуву, який визначає пружні властивості тіла при деформаціях зсуву.

Рідинам і газам властива об'ємна пружність, тобто здатність чинити опір зміні об'єму. Через це зміна об'єму V  на величину  dV  спричинює зміну тиску в середовищі на dP = kdV/V, де k    модуль об'ємної пружності, від якого, поряд із густиною , і залежить швидкість хвилі у газі чи рідині:

(22.19)

При цьому в газах коефіцієнт об'ємної пружності залежить від термодинаміки процесу стискання (розширення) газу. При повільній зміні об'єму процес можна вважати ізотермічним, і , а швидка зміна об’єму відбувається адіабатно, і  ,  де   − показник адіабати (див. розділ 2).

 

39. Хвильові пакети. Групова швидкість

Якщо в середовищі одночасно поширюється п різних механічних хвиль, то результуючі зміщення , швидкість  v  та прискорення  а  частинок середовища в будь-який момент часу  t  дорівнюють:

(22.26)

тут     зміщення, швидкість і прискорення, які мали б частинки в той самий момент часу t, якби в середовищі поширювалася тільки одна і -та хвиля. (Анімація 1 та анімація 2 показують реалізацію принципу суперпозиції для хвиль, що поширюються в одному та протилежних напрямках відповідно). Рівняння (22.26) виражають принцип суперпозиції хвиль^[1]. Важливість цього принципу зумовлена тим, що, як доводиться в математиці, будь-яку складну несинусоїдальну хвилю можна розглядати як суперпозицію певної кількості монохроматичних хвиль із відповідними амплітудами, частотами та довжинами хвилі.

Особливий інтерес являє суперпозиція монохроматичних хвиль, частоти  й хвильові числа  (довжини хвиль) яких лежать у вузькому інтервалі    та    в околі певних значень    та    (   і   ). Таке утворення називається групою хвиль або хвильовим пакетом.  Прообразом групи хвиль є суперпозиція двох монохроматичних хвиль, що поширюються в одному напрямку ОХ і мають однакові амплітуди та близькі частоти і хвильові числа   .  За принципом суперпозиції для результуючої хвилі маємо:

(22.27)

Через малість величин    та    амплітуда цієї функції

(22.28)

повільно змінюється із зміною  x  і  t. Тому у фіксований момент часу в просторі існує послідовність згустків коливань (пакетів), як показано на рис.22.5.

Розглянемо, чим визначаються розміри пакетів    та їх тривалість  , тобто проміжок часу, протягом якого один пакет проходить повз задану точку. Це не важко зробити. На відстані    функція амплітуди (22.28) змінюється від  0  до    і  знов до 0, отже аргумент змінюється на    при незмінному значенні t. Тому

(22.29а)

Аналогічно змінюється амплітуда й за час проходження пакета повз фіксовану точку, то ж

(22.29б)

При накладанні тільки двох монохроматичних хвиль із близькими спектральними параметрами    і   (або   ) виникає нескінченна послідовність хвильових пакетів. Але при накладанні нескінченної кількості елементарних монохроматичних хвиль із частотами та хвильовими числами, які неперервно заповнюють відповідні вузькі інтервали     і  , як свідчить розрахунок, утворюється практично один пакет. Його форма залежить від розподілу амплітуд складових монохроматичних хвиль і при однакових амплітудах має вигляд рис. 22. 6 та анімації 3. При цьому для центральної частини зберігаються співвідношення (22.29а) і (22.29б). Але через математичну невизначеність розмірів, для всього пакета вони виконуються наближено як нерівності

		(22.30)

Ці співвідношення виражають універсальний зв’язок між спектральним складом і просторово-часовою локалізацією хвиль будь-якої природи. З них, зокрема, випливає, що реальні хвилі принципово не можуть бути строго монохроматичними. Справді, реальна хвиля завжди обмежена в просторі та часі − вона десь і колись починається, і десь і колись закінчується (загасає або поглинається тілами). Отже, реальна хвиля має скінченні значення   і    і через це характеризується не одним значенням хвильового числа та частоти, а нескінченною їх кількістю в  інтервалі  і . Відповідно, для істинно монохроматичної хвилі    і  , отже    і  . Інакше говорячи, монохроматична хвиля − то є абстрактний процес, який займає весь безмежний простір, і ніколи не починався та ніколи не закінчиться.

Визначимо тепер швидкість руху хвильового пакета (групи хвиль), яка називається груповою швидкістю u  і дорівнює швидкості переміщення центра групи, тобто точки з максимальною амплітудою коливань. Для розглянутої групи з двох монохроматичних хвиль рух цієї точки, згідно з (22.28), задовольняє умові , отже

Таким чином, групова швидкість . Але для реальної групи, що складається з безлічі монохроматичних хвиль із гранично близькими частотами та хвильовими числами, вираз групової швидкості дещо інший:

(22.31)

Зазначимо, що позаяк інтенсивність хвилі прямо пропорційна квадратові амплітуди, групова швидкість визначає швидкість перенесення хвилею енергії. При цьому вона не співпадає з фазовою швидкістю, що на перший погляд може здатися дивним. Справді, монохроматична хвиля із заданою частотою ω, яка поширюється в заданому середовищі, має визначену фазову швидкість . Отже, оскільки , то  , тобто ніякої різниці між груповою та фазовою швидкістю немає. Але пружність середовища і, через це, фазова швидкість хвилі (див. (22.7) залежить від частоти коливань частинок. Тому величини   і     (або  ) знаходяться у складній функціональній залежності. Це явище називається дисперсією й суттєво впливає на поширення реальних хвиль і, зокрема, зумовлює відміну між груповою та фазовою швидкостями. Співвідношення між ними легко встановити, врахувавши, що    і  :

(22.32а)

або, після заміни   і  ,

(22.32б)

Отримані вирази (22.32а) і (22.32б) називаються співвідношеннями Релея.

 

^[1] Строго говорячи, цей принцип виконується не завжди, а тільки для середовищ властивості яких не залежать від амплітуди хвилі. Такі середовища й, відповідно, хвилі в них, називаються лінійними. Далі розглядаються тільки лінійній хвилі.