Квантование непрерывного сообщения по времени.

Любая реализация U(t) может быть преобразована в дискретный вид с помощью взятия выборок в интервале времени на практике чаще процесс замены U(t) на U(k t) называют дискретизацией по времени или квантованием по времени.

U k( t) =U(t) (t+kT_b) здесь (t) дельта функция (t)=1 при t=kT и равно 0 в любые другие моменты времени. Часто (t) заменяют на П(t)

U k(t) = U(t) П(t+kT_b) здесь П(t) = 1 в момент t=kT_b и равно 0 в любые другие моменты времени. Вопрос о возможности восстановления непрерывной функции из дискретизованной решается теоремой Котельникова.

Если функция X(t) непрерывна, ограничена и имеет конечное число экстремумов (удовлетворяет условиям Дирихле) и спектр её ограничен некоторой частотой _m, то существует такой максимальный интервал T между отсчетами, при котором имеется возможность точно восстановить дискретизируемую функцию X(t) по её дискретным отсчетам. T=/_m=1/2f_m

S_i= прямое преобразование Фурье

x(t) = обратное преобразование Фурье.

Если спектр ограничен _m то

S(j)  0 при -_m_m

S(j) = 0 при   _m

следующие пределы интегрирования могут быть ограничены

X(t) = *

Если известен интервал (-_m; _m) то спектр функции представляется комплексным рядом Фурье

S(j) = где **

Ck = ***

если t = -k T, а то можно записать Ck= подставив в ** получим S_{j =} знак при k можно менять, так как суммирование ведется в бесконечных пределах.

Так как ряд и интеграл Фурье сходятся, то можно менять местами знак  и .

X(t) =

X(t) =

Ψ_к(t) = функция отсчетов.

при t = k T Ψ(t) = 1

при t = (ki) t Ψ(t) = 0

Это реакция идеального фильтра низких частот на (t) функцию.

Идеальный фильтр низких частот имеет амплитудно частотную характеристику равную единице в низкочастотной области до частоты среза и равную нулю на частотах больших частоты среза (бесконечное затухание).

Теорема Котельникова дала возможность наряду с частотными представлениями сигнала (ряд Фурье) применить временное представление (временной ряд).

Это обусловлено большей простотой исследования вопросов передачи дискретных сообщений (сигналов) по сравнению с передачей непрерывных сигналов.

Так как любые сообщения в информационной системе должен быть случайным явлением, чтобы быть носителем информации, то и сигнал должен быть случайным.

Случайные функции с ограниченным спектром называются вырожденными, для них по предыдущим значениям можно прогнозировать будущие значения как угодно точно.

Реальные сигналы имеют начало и конец, такие функции имеют  спектр.

Отсюда теорема Котельникова, строго говоря, не может применяться к сигналам - носителям информации.

Если f(x) восстановлена по своим N=2fT отсчётам, то каждый новый отсчет изменяет всю непрерывную функцию от 0 до T в точках отличающихся от отсчетных. Таким образом, новые данные изменяют непрерывную функцию в прошлом.

Необходимо бесконечное время для обработки сигнала фильтром с бесконечным затуханием.

Трудно определить fm для реального сигнала.

Если не требовать идеальной точности, то теорема Котельникова можно рассматривать как приближение

x(t) = x₁(t) + x₂(t) + x₃(t) где x₁(t) = f_m выбрано произвольно и не содержит частот выше f(b) спектр x₂(t) не ограничен, а x₃(t) содержит только частоты выше f_m. f_m выбрано так, что x₂(t) и x₃(t) малы и x(t) = x₁(t),

то E_m E_m - энергия сигнала в диапазоне от fm до  величина средне квадратичной ошибки может быть оценена

здесь E полная энергия сигнала.

Дальнейшее развитие теории дискретизации разработаны Железновым для сигнала y которого спектр сигнала не ограничен - до , сигнал конечной длительности, функция корреляции сигнала равна 0 вне интервала ₀ и длительность сигнала T должна быть больше ₀.

Число отсчетов N = T/₀ в общем случае, для некоторых типов сигналов с корреляционной функцией К(₀) не зависящей от времени t=к T.