5. Запись структурных формул в универсальных базисах.

ЗАПИСЬ В БАЗИСЕ И-НЕ.

Эту запись целесообразно выполнять в следующей последовательности:

1. Минимизированная в базисе И, ИЛИ, НЕ структурная формула представляется в виде ДНФ (логической суммы произведений).

2. Над полученным выражением ставятся два знака инверсии, и с помощью формул де Моргана осуществляется переход в базис И-НЕ.

3. В отдельных случаях находят применение следующие формулы:

☼

☼

☼

☼ доказательство первое тождество

Пример.

Задана логическая функция 4-х переменных.

X1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
X2	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
X3	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
X4	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
F	1	0	1	0	0	1	0	1	1	0	1	0	1	0	0	0

Требуется получить минимизированную структурную формулу и записать ее в базисе И-НЕ.

1.Составим карту Карно:

1 Х 0 0 0 1 х 1 х 0 х 0

Получим минимизированную структурную формулу. Ставим два знака инверсии над правой частью полученной формулы и выполняем преобразование на основе формулы де Моргана:

Таким образом избавились от операций ИЛИ. Теперь надо упростить это выражение используя формулы ☼.

Получим:

В том случае, когда под инверсией находится 3 переменные, нужно использовать:

ЗАПИСЬ В БАЗИСЕ ИЛИ-НЕ.

Преобразование записи структурной формулы к этому базису целесообразно выполнять в следующей последовательности:

1. Минимизированная в базисе И, ИЛИ, НЕ структурная формула представляется в виде логического произведения сумм, называемого чисто конъюктивной нормальной формой КНФ.

2. Над правой частью полученной формулы ставится два знака инверсии, и с помощью формул де Моргана осуществляется переход в базис ИЛИ-НЕ.

3. В отдельных случаях применяются следующие формулы:

☼

Доказательство:

☼

☼

☼

Доказательство:

Пример.

Задана логическая функция 4-х переменных:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

X1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
X2	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
X3	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
X4	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
F	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	1

Требуется получить минимизированную структурную формулу и записать ее в базисе ИЛИ-НЕ.

Если задан базис ИЛИ-НЕ, то в карте Карно целесообразно использовать нулевые наборы.

Составим карту Карно:

Инверсия ставится там, где Х_i = 1.

Тогда:

Выполняем преобразование на основе формул де Моргана:

Используя избавляемся от инверсии

ЗАПИСЬ В БАЗИСЕ И-ИЛИ-НЕ.

В данном случае целесообразна следующая последовательность получения структурной формулы в этом базисе:

1. Структурная формула для инверсного значения логической функции

минимизируется в базисе И, ИЛИ, НЕ и представляется в виде дизъюнктивной нормальной форме.

2. Для перехода к базису И-ИЛИ-НЕ над обеими частями структурной формулы ставится знак инверсии.

3. Для преобразования в базисе И-ИЛИ-НЕ применяются соотношения:

☼

☼ , где Z — любая функция.

Пример.

Логическая функция 4-х переменных задана таблицей истинности:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

X1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
X2	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
X3	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
X4	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
F	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0	1	0	0	0	1	1

Составим карту Карно:

Карту Карно для единичных наборов инверсного значения логической функции можно получить заменив 0 на 1 в клетках карты, и наоборот:

Получаем следующее выражение в виде ДНФ:

Если поставить инверсию над обеими частями полученного выражения, то перейдем к базису И-ИЛИ-НЕ.

; .

Воспользовавшись тождествами ☼ окончательно получим:

Преобразуем первое слагаемое.

Преобразуем второе слагаемое.

Тогда

Наиболее предпочтительная форма представления функции зависит от возможностей системы элементов принятой за базовую. При этом в каждом конкретном случае необходимо учитывать следующие обстоятельства:

1. Какова общая задержка сигналов в полученной схеме.

2. Каково общее число входов для переменных.

3. Были ли требуемые значения переменных (прямые или инверсные) сформированы ранее.

4. Какое количество корпусов интегральных схем требуется для реализации.