Запись матричной игры в виде платёжной матрицы

В общем виде матричная игра может быть записана следующей платёжной матрицей [1, 2, 7] (рис. 1.1.),

где A_i – названия стратегий игрока 1, B_j – названия стратегий игрока 2, a_ij – значения выигрышей игрока 1 при выборе им i – й стратегии, а игроком 2 – j – й стратегии. Поскольку данная игра является игрой с нулевой сумм

ой, значение выигрыша для игрока 2 является величиной, противоположенной по знаку значению выигрыша игрока 1.

	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	...	A1n
A2	a21	a22	...	A2n
…	...	...	...	...
Am	am1	am2	...	amn

Рис. 1.1. Общий вид платёжной матрицы матричной игры

Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях

Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш с учётом поведения противодействующего ему игрока. Поэтому для игрока 1 необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину

V_н = max_i min_j a_ij ,

или найти минимальные значения по каждой из строк платёжной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений. Величина V_н называется максимином матрицы или нижней ценой игры.

Величина выигрыша игрока 1 равна, по определению матричной игры, величине проигрыша игрока 2. Поэтому для игрока 2 необходимо определить значение

V_в = min_j max_i a_ij .

Или найти максимальные значения по каждому из столбцов платёжной матрицы, а затем определить минимальное из этих значений. Величина V_в называется минимаксом матрицы или верхней ценой игры.

В случае, если значения V_н и V_в не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов a_ij ) в длительной перспективе, выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Устойчивость он приобретает лишь при равенстве V_н = V_в = V. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях, а стратегии, в которых достигается V - оптимальными чистыми стратегиями. Величина V называется чистой ценой игры. [8].

Например, в матрице (рис. 1.2)

	B1	B2	B3	B4	Minj
A1	7	6	5	4	4
A2	1	8	2	3	1
A3	8	1	3	2	1
Maxi	8	8	5	4

Рис. 1.2. Платёжная матрица, в которой существует решение в чистых стратегиях

	B1	B2	B3	B4	Minj
A1	7	6	5	2	2
A2	1	8	2	3	1
A3	8	1	3	2	1
Maxi	8	8	5	3

Рис. 1.3. Платёжная матрица, в которой не существует решения в чистых стратегиях

существует решение в чистых стратегиях. При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A1, а для игрока 2 – стратегия B4.

В матрице (рис. 1.3) решения в чистых стратегиях не существует, так как нижняя цена игры (максимальный гарантированный выигрыш игрока 1) достигается в стратегии A1 и её значение равно 2, в то время как верхняя цена игры (минимум потерь игрока 2) достигается в стратегии B4 и её значение равно 3.

Практическая часть

Задание 1. 1

Пусть задана следующая игра с участием двух игроков:

Первый игрок загадывает любое целое число от 1 до 3. Второй игрок должен отгадать это число. Если второй игрок указывает число правильно, он получает выигрыш, равный значению этого числа. В противном случае этот выигрыш получает первый игрок.

1. Определите число стратегий игроков и составьте платёжную матрицу задачи.

2. Определите нижнюю и верхнюю цену игры. Установите, существует ли в данной игре решение в чистых стратегиях.

Задание 1.2

Разработайте компьютерную программу, выполняющую следующие действия:

1. Ввод платёжной матрицы (по вариантам, предложенным преподавателем);

2. Определение нижней и верхней цены игры и вывод их значений, а также названий стратегий, в которых достигаются эти значения.

3. Определение наличия или отсутствия оптимальной чистой стратегии в игре. В случае существования оптимальной чистой стратегии вывод информации о названиях стратегий игроков, в которых она достигается. В случае отсутствия оптимальной чистой стратегии вывод соответствующего сообщения.