Задача 4.
Годовой спрос на товар составляет 1000 единиц,стоимость подачи заказа 40руб/заказ, закупочная цена 40 руб/единица, годовая стоимость хранения одной единицы составляет 25% ее цены. Можно получить скидку 3% у поставщиков, если размер заказа будет не меньше 200 единиц, Стоит ли воспользоваться скидкой? (Сравнить издержки в рамках основной модели и модели со скидкой).
Дано:
d=1000 ед.
S=40 руб/заказ
q0=200, если q>200
c=40 руб/ед
c0(цена со скидкой)=0,97 (от исходной цены)*40=38,8руб
h=0,25*40=10руб/шт/год
Решение:
если скидки нет, найдем оптовый размер партии
g*= √ 2sd/h= √2х40х1000/10=√8000=89шт
h*= d/g*=1000/89=11,2 поставок в год
t*=365/h*=365/11,2=33 дня
Cg*= cd+ Sхd/q+ qхh/2
Сg*(89)=40х1000+40х1000/89+89х10/2=4000+449,4+445=40894руб
в модели со скидкой:
Сg0(200)=38,8х1000+40х1000/200+200х10/2=38800+200+1000=40000руб
Вывод:
Поскольку издержки при закупке партии 200шт. со скидкой ниже(40000руб), чем издержки при закупке партии 89 шт., но без скидки(40894руб), то выгоднее воспользоваться скидкой и закупать партии по 200 штук.
h0= d/q0=1000/200= 5 поставок/год
t=365/5=73 дня
Задача 5.
Одноканальная система массового обслуживания с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка (вызов) пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие, интенсивность потока заявок 0,95 вызова/мин, средняя продолжительность разговора 1 мин. Определить характеристики СМО.
Дано:
λ=интенсивность потока заявок=0,95 вызова/мин
μ=интенсивность потока обслуживания=?
ύ=интенсивность выходного потока
t=1 мин
Решение:
μ=1/tобсл=1/1=1
среднее время пребывания заявки в системе
Тс=1/λ+μ = 1/0,95+1=0,5мин
интенсивность выходящего потока(абсолютная пропускная способность)
А=ϋ=λхμ/λ+μ=0,95х1/0,95+1=0,48
вероятность того, что канал свободен (вероятность того, что поступленная заявка будет обслужена)
Роб=μ/λ+μ=1/0,95+1=0,5
5)вероятность занятости канала (вероятность того, что вы получите отказ)
Ротк=λ/λ+μ= 0,95/1+0,95=0,48
Задания.
Тема:Методы и модели оптимизации в планировании и управлении.
1. Общая задача линейного программирования.
2. Геометрический метод решения задач линейного программирования.
3. Решение задач по определению производственной программы предприятия симплексным методом.
Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.
Задача 1. Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Задача 2. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
Корма
Питат. вещества |
Количество питательных веществ в 1 кг корма |
|
1 |
2 |
|
А В |
2 2 |
1 4 |
Цена 1 кг корма, т.руб. |
0,2 |
0,3 |
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
Задача 3. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
Задача 4. На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.
Фермеру хотелось бы знать, сколько гектар нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Тема:Методы и модели оптимального планирования хозяйственной деятельности. Решение оптимизационных экономических задач симплексным методом.
Задача1. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Необходимые исходные данные приведены в таблице.
Составить оптимальный план загрузки оборудования, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.
Оборудование |
Детали |
Полезный фонд времени, станков – ч. |
|||
1 |
2 |
||||
Технологический способы |
|||||
1 |
2 |
1 |
2 |
||
Фрезерное Токарное Сарочное |
2 3 в0 |
2 1 1 |
3 1 1 |
0 2 4 |
20 37 30 |
Прибыль, усл.ед. |
11 |
6 |
9 |
6 |
|
Задача 2. Торговая фирма для продажи товаров трех видов использует ресурсы: время и площадь торговых залов. Затраты ресурсов на продажу одной партии товаров каждого вида даны в таблице. Прибыль, получаемая от реализации одной партии товаров товаров 1-го вида – 5 усл.ед., 2-го вида- 8 усл.ед., 3-го вида – 6 усл.ед.
Определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую фирме максимальную прибыль.
Ресурсы |
Вид товара |
Объем ресурсов |
||
1 |
2 |
3 |
||
Время, чел.-ч. Площадь, кв.м. |
0,5 0,1 |
0,7 0,3 |
0,6 0,2 |
370 90 |
Задача 3.Фирма выпускает четыре пользующихся спросом изделия, причем месячная программа выпуска составляет 10 изделий типа 1 и 3, 200 изделий типа 2 и 120 изделий типа 4. Нормы затрат сырья на единицу различных типов изделий приведены в таблице.
Прибыль от реализации изделий типа 1 равна 6 усл.ед., изделий типа 2 – 2 усл.ед., изделий типа 3 – 2.5 усл.ед. и изделий типа 4 – 4 усл.ед.
Определить, является ли месячная программа выпуска изделий оптимальной, и если нет, то определить оптимальную месячную программу и дополнительный доход, который фирма может при этом получить.
Вид сырья |
Нормы затрат на одно изделие |
Запасы сырья, ед. |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
||
1 2 3 |
5 4 1 |
1 2 0 |
0 2 2 |
2 1 1 |
1000 600 150 |
Задача 4. Металлургический завод из металлов А1, А2, А3 может выпускать сплавы В1, В2, В3. В течение планируемого периода завод должен освоить не менее 640 т. металла А1 и 800 т. металла А2, при этом металла А3 может быть израсходовано не более 860 т.
Определить минимальные затраты, если данные о нормах расхода и себестоимость даны в таблице.
Вид металлов |
Технологические нормы расхода металла на усл.ед. сплава |
Наличие металла у завода |
||
В1 |
В2 |
В3 |
||
А1 А2 А3 |
1,0 5,0 3,0 |
4,3 1,5 3,9 |
2,6 3,0 4,3 |
640 800 860 |
Себестоимость 1 т. сплава |
18 |
15 |
15 |
|
Задача5. Ткань трех артикулов производится на ткацких станках двух типов с различной производительностью. Для изготовления ткани используются пряжа и красители. В таблице указаны мощности станков в тысячах станко – часов, ресурсы пряжи и красителей в 1000 кг., производительности станков в метрах за час, нормы расхода пряжи и краски в килограммах на 1000 м и цена 1 м ткани.
По этим исходным данным решить следующие задачи:
1) определить оптимальный ассортимент, максимизирующий товарную продукцию предприятия;
Вид ресурсов
|
Объем ресурсов |
Нормы расхода тканей Разных артикулов |
||
1 |
2 |
3 |
||
Станки 1-го типа Станки 2-го типа Пряжа Красители
|
30 45 30 1
|
20 8 120 10
|
10 20 180 5
|
25 10 210 8
|
Цена, усл.ед. |
|
15 |
15 |
20 |
2) приняв условие, что количество тканей трех артикулов находится в отношении 2:1:3, определить, какое максимальное количество комплектов ткани может выпустить предприятие;
3) определить оптимальный ассортимент, максимизирующий доход предприятия, если цена 1 м. ткани составляет 8.5 и 15 усл.ед. соответственно;
4) решить задачу (1) при условии, что станки 1-го типа ткань первого артикула не производят.
Задача 6. Из трех продуктов – I, II, III составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 8 ед. – вещества В и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в следующей таблице:
Продукт |
Содержание химического вещества в 1 ед. продукции |
Стоимость 1 ед. продукции |
||
А |
В |
С |
||
I II III |
2 1 3 |
1 2 1.5 |
3 4 2 |
2 3 2.5 |
Составьте наиболее дешевую смесь.
Тема: Методы и модели оптимального планирования хозяйственной деятельности. Решение экономических задач, формулируемых в виде транспортной модели.
1. Составление первоначального плана перевозок методом «северо-западного угла».
2. Составление первоначального плана перевозок методом минимальной стоимости.
3. Составление транспортной таблицы для открытой транспортной задачи.
4. Решение задач методом потенциалов.
Задача 1. Четыре предприятия для производства продукции используют сырье, потребность в котором каждого из них составляет 80, 100, 120 и 40 единиц. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, запасы в которых соответственно составляют 150, 120 и 70 ед. На каждое предприятие сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и заданы матрицей. Составить такой план перевозок, при котором их общая стоимость является минимальной.
-
В1
В2
В3
В4
А1
4
3
9
10
А2
7
8
5
4
А3
10
1
7
3
Задача 2. На строительстве четырех объектов используется раствор, поставляемый от трех поставщиков. Ежедневно каждый поставщик может доставлять 70, 100 и 30 усл. ед. раствора. Ежедневная потребность каждого из трех строящихся объектов соответственно равна 40, 10, 60 и 90 усл. ед. Тарифы на перевозку одной усл. ед. раствора заданы матрицей. Составить оптимальный план перевозок раствора к объектам, чтобы стоимость перевозок была минимальной.
-
В1
В2
В3
В4
А1
10
3
7
2
А2
1
5
4
3
А3
8
6
9
7
Задача 3. Фирма имеет три магазина розничной торговли. Поставки продукции в эти магазины осуществляются с четырех складов, запасы которых составляют 30, 25, 15 и 30 ед. товара. Потребность трех магазинов в товарах составляет 40, 20 и 40 ед. соответственно. Стоимость доставки единицы товара с каждого склада в каждый из магазинов задана матрицей. Определить оптимальный план доставки товаров и минимальную стоимость перевозок.
-
В1
В2
В3
А1
3
5
4
А2
4
2
1
А3
1
3
2
А4
5
3
5
Задача 4. Есть три поставщика с мощностями 20, 25 и 20 единиц груза и пять потребителей данного груза, их спрос соответственно 19, 10, 12, 11, 13 единиц. Стоимость доставки единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю задается матрицей. Найти оптимальный план поставок, чтобы стоимость перевозки грузов была минимальной.
-
В1
В2
В3
В4
В5
А1
8
7
1
2
4
А2
1
6
7
2
2
А3
7
3
2
1
4
Тема:Методы и модели принятия решений.
Принятие решений в условиях неопределенности. Основные критерии.
1. Критерий крайнего оптимизма.
2. Критерий Лапласа.
3. Критерий Вальда.
4. Критерий Сэвиджа.
5. Критерий Гурвица.
6. Решение многокритериальных задач.
Задача.1. Энергетическая компания должна выбрать проект электростанции. Всего имеется четыре типа электростанций: А] - тепловые, А2 - приплотинные, А3 -бесшлюзовые, А4 - шлюзовые. Последствия, связанные со строительством и дальнейшей эксплуатацией электростанции каждого из этих типов, зависят от ряда неопределенных факторов (состояния погоды, возможности наводнения, цены топлива, расходы по транспортировке топлива и т.п.). Предположим, что можно выделить четыре варианта сочетаний данных факторов - они выступают в качестве состояний среды и обозначены через В\, В2, Вз, В4. Экономическая эффективность электростанции определяется в данном случае как процент прироста дохода в течение одного года эксплуатации электростанции в сопоставлении с капитальными затратами; она зависит как от типа электростанции, так и от состояния среды и определяется таблицей. Какой проект электростанции является оптимальным?
|
B1 |
B2 |
Вз |
B4 |
A1 |
7 |
5 |
1 |
10 |
А2 |
5 |
2 |
8 |
4 |
Аз |
1 |
3 |
4 |
12 |
А4 |
8 |
5 |
1 |
10 |
Тема:Методы и модели принятия решений. Принятие решений в условиях вероятностной неопределенности и риска.
1. Выбор оптимальной стратегии в задачах с риском.
Задача 1. Выбор варианта продаваемого товара.
Фирма А может выставить на продажу один из товаров Т1 или Т2, а фирма В – один из товаров Т1, Т2, Т3. Товары Т1 и Т1 являются конкурирующими (например, пиво и лимонад), товары Т1 и Т3 - дополнительными (например, пиво и вобла), остальные пары товаров практически нейтральны. Прибыль фирмы А зависит от сочетания товаров, выставляемых на продажу обеими фирмами, и определяется таблицой 1 (в некоторых денежных единицах).
|
Т1 |
Т2 |
Т3 |
Т1 |
8 |
18 |
40 |
Т2 |
18 |
15 |
14 |
Известно, что фирма В выставляет на продажу товар Т3 в три раза реже, чем Т1 и в четыре раза реже ,чем Т2. Какой товар следует выставить на продажу фирме А?
Задача 2. Выбор варианта производимого товара.
Фирма может выпускать продукцию одного из следующих шести видов: зонтики (З), куртки (К), плащи (П), сумки (С), туфли (Т), шляпы (Ш). Глава фирмы должен принять решение , какой из этих видов продукции выпускать в течение предстоящего летнего сезона. Прибыль фирмы зависит от того, каким будет лето – дождливым, жарким или умеренным и определяется табл.1. Выбор какого варианта производства будет оптимальным? Предположим, что вероятность дождливого, жаркого и умеренного лета равна соответственно 0.2; 0.5; 0.3.
|
Д (0.2) |
Ж (0.5) |
У (0.3) |
З |
80 |
60 |
40 |
К |
70 |
40 |
80 |
П |
70 |
50 |
60 |
С |
50 |
50 |
70 |
Т |
75 |
50 |
50 |
Ш |
35 |
75 |
60 |
Тема: Модель системы массового обслуживания.
Определение параметров работы СМО.
1.Одноканальные и многоканальные системы массового обслуживания.
Определение параметров работы систем массового обслуживания.
2.Модель системы массового обслуживания с отказами.
3.Модель системы массового обслуживания с ожиданием.
Задача 1. (Одноканальная СМО с отказами). Имеется одноканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда линия занята, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью = 60 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разговора t обсл = 2,5 мин. Определить показатели эффективности работы СМО.
Задача 2. (Многоканальная СМО с отказами). Имеется трехканальная телефонная линия . Заявка-вызов, поступившая в момент,когда все n = 3 канала заняты, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью = 50 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разговора t обсл = 2,5 мин. Определить показатели эффективности работы СМО.
Задача 3. (Одноканальная СМО с ожиданием). Магазин с одним продавцом. Предполагается , что простейший поток покупателей поступает с интенсивностью = 10 человек/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина , которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром = 15 человек/ч. Определить:
среднее время пребывания покупателя в очереди ;
среднюю длину очереди ;
среднее число покупателей в магазине ;
среднее время пребывания покупателя в магазине ;
вероятность того, что в магазине не окажется покупателей ;
вероятность того , что в магазине окажется ровно 4 покупателя.
Задача 4. (Многоканальная СМО с ожиданием). Ответить на вопросы задачи 3 приусловии, что в магазине теперь n=2 продавца.
Тема: Метод сетевого планирования и управления.
Расчет параметров сетевого графика.
1.Построение сетевого графика проекта.
2.Расчет временных параметров сетевого графика.
3.Временной график работ.
4.Расчет коэффициента напряженности работ.
5.Расчет коэффициента дополнительных затрат.
6.Оптимизация сетевого графика работ (по времени, по стоимости).
Задача 1. Рассмотрите следующий проект:
Работа |
Непосредственно предшествующая работа |
Время выполнения работы, дни |
А |
- |
4 |
В |
- |
6 |
С |
A |
2 |
D |
A |
6 |
E |
C,B |
3 |
F |
C,B |
3 |
G |
D,E |
5 |
Построить сетевой график проекта, пронумеровать вершины.
Определить критический путь и критическое время на сетевом графике.
Сколько работ находится на критическом пути?
Определить временные параметры событий (ранний срок свершения события, поздний срок свершения события, резерв времени события) для всех событий на сетевом графике. Определить время, необходимое для выполнения всего проекта.
Построить график Ганта.
Задача 2. Рассмотрите следующий проект:
Работа |
Непосредственно предшествующая работа |
Время выполнения работы, дни |
А |
- |
4 |
В |
- |
6 |
С |
- |
5 |
D |
B |
2 |
E |
A |
9 |
F |
B |
4 |
G |
C,D |
8 |
H |
B,E |
3 |
I |
F,G |
5 |
J |
H |
7 |
Построить сетевой график проекта, пронумеровать вершины.
Определить критический путь и критическое время на сетевом графике.
Сколько работ находится на критическом пути?
Определить временные параметры событий (ранний срок свершения события, поздний срок свершения события, резерв времени события) для всех событий на сетевом графике. Определить время, необходимое для выполнения всего проекта.
Построить график Ганта.
Тема: Моделирование и прогнозирование спроса и предложения.
1.Кривые спроса и предложения.
2.Факторы, влияющие на спрос и предложение.
3.Модель рыночного равновесия спроса и предложения.
4.Коэффициенты эластичности спроса и предложения.
5.Паутинообразная модель.
Задача 1. В таблице представлены спрос и предложение на товар.
Цена Р(руб. за ед.) |
Спрос Qd (тыс.ед) |
Предл. Qs (тыс.ед) |
2 |
50 |
10 |
4 |
40 |
20 |
6 |
30 |
30 |
8 |
20 |
40 |
10 |
10 |
50 |
Определите равновесную цену и объем продаж.
Определите объем спроса и предложения при цене 4 руб. за ед.
Какая ситуация возникает на рынке при цене 4 руб. за ед. (дефицит или затоваривание) и определите его объем.
Определите новую равновесную цену и объем продаж, если исходная цена не изменится, а спрос на товар из-за увеличения денежных доходов населения составит соответственно: 70,60,50,40,30 тыс.ед.
Определите новую равновесную цену и объем продаж при условии, что объем спроса не изменился, а предложение сократилось в результате увеличения налогов и составило соответственно: 0,10,20,30 тыс.ед.
Как изменится равновесная цена и объем продаж, если произойдет одновременное увеличение спроса и уменьшение предложения товара.
Задача 2. Даны функции спроса Qd=72Р и предложения Qs= 5+4Р на товар. Определите равновесную цену и объем продаж. Что произойдет, если цена будет установлена на уровне 3 рубля?
Задача 3. Даны функции спроса и предложения на товар: Qd=5Р, Qs= 4+2Р. Определите равновесную цену и объем продаж. Как изменится цена, если предложение возрастет на 10 %;
спрос сократится на 20 %.
Задача 4. Даны функции спроса Qd=4Р и предложения Qs= 4+3Р на товар. Определите равновесную цену и объем продаж и рассчитайте как она изменится, если: спрос возрастет на 15 %;
предложение сократится на 30 %.
Задача 5. Функция спроса некоторого товара D(P)=100–2P2. Найти эластичность спроса от цены Ed при цене P=5.
Задача 6. Функция спроса некоторого товара D(P) = 90–3P2. Найти эластичность спроса от цены Ed при цене P=4.
Задача 7. Функция предложения некоторого товара S(P) = 7+3P. Найти эластичность предложения от цены Es при цене P = 5.
Задача 8. Функция предложения некоторого товара S(P) = 3 + 4P. Найти эластичность предложения от цены Es при цене P = 2.
Задача
9. Функция
спроса некоторого товара D(P)
= 50 - 3P1
+ 2P2
+ 0,4Y.
Найдем эластичность спроса от собственной
цены E1,
перекрестный коэффициент эластичности
спроса E2
, эластичность спроса от дохода
потребителей EY
при собственной цене товара P1=5,
цене
альтернативного
товара P2=4
и доходе потребителей Y=500.
Какие это товары: взаимозаменяемые или
взаимодополняющие? Как ведет себя спрос
с ростом доходов потребителей?
Задача 10. Функция спроса некоторого товара D(P) = 60 - 4P1 + 3P2 + 0,5Y. Найти эластичность спроса от собственной цены E1 ,перекрестный коэффициент эластичности спроса E2 , эластичность спроса от дохода потребителей EY при собственной цене товара P1=6, цене альтернативного товара P2=5 и доходе потребителей Y=700. Какие это товары: взаимозаменяемые или взаимодополняющие? Как ведет себя спрос с ростом доходов потребителей?
Тема: Моделирование спроса при помощи регрессионных моделей.
1.Построение линейной однофакторной модели спроса методом наименьших квадратов.
2.Построение линейной многофакторной модели анализа и прогнозирования спроса
3. Оценка степени влияния факторов по средним частным коэффицинентам эластичности.
4. Нелинейные модели и их линеаризация.
Задача 1.Построить модель линейной парной регрессии: