Асинхронные модели функциональных схем

Асинхронная математическая модель функциональной схемы может быть задана в виде:

  , где V - вектор внутренних и выходных переменных, U - вектор входных переменных, Δt - такт моделирования.

В каждом такте моделирования в правую часть уравнения (1) подставляются значения входных переменных в соответствии с временной диаграммой работы устройства, заданной разработчиком и значения внутренних и выходных переменных, полученные в предыдущем такте. Длительность такта моделирования должна выбираться достаточно малой исходя из соображений точности. Асинхронное моделирование позволяет обнаруживать любые риски сбоев.

Для обнаружения статических рисков сбоя используют трехзначную логику, для обнаружения динамических рисков сбоя - пятизначную логику.

При трехзначном моделировании требуется двукратное решение системы логических уравнений (при условии, что исходное состояние задано, а не находится путем решения) для промежуточного состояния сигналов и окончательного. Для схемы (рис.1) моделирование с использованием трехзначной логики представлено в таблице 1.

Табл.1

Допустимые переключения сигналов через неопределенное состояние, то есть 1-*-0 или 0-*-1, все другие комбинации свидетельствуют о возможных рисках сбоя. В данном случае переключение выхода "с" - 0-*-0, что говорит о статическом риске сбоя. При этом динамический риск сбоя на выходе "е" не обнаружен.

Его можно обнаружить с помощью пятизначного моделирования. Оно также выполняется для промежуточного и окончательного наборов сигналов. В таблице 2 представлены результаты пятизначного моделирования.

Табл.2

По выходам "с" и "е" обнаружены риски сбоев, так как допустимые переключения 1-D-0 или 0-Е-1, все остальные комбинации свидетельствуют о рисках сбоев.

Одной из первых удачных программ математического компьютерного моделирования РЭУ была программа (и язык схемотехнического моделирования) SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis), разработанная в начале 70-х годов ХХ столетия в Калифорнийском университете для больших ЭВМ, в конце 80-х годов эта программа была адаптирована (приспособлена) для ПЭВМ и получила название PSpice. Эта программа оказала сильное влияние на последующие подобные разработки.

В системе  PSpice  использован таблично-топологический (или узловой) метод описания схемы: выделяются узлы и указывается, какие элементы установлены между этими узлами. Затем программа автоматически составляет алгебраические и дифференциальные уравнения для описания работы моделируемого устройства (вспомнить предыдущую лекцию).

Последние версии программы PSpice позволяют синтезировать схему из готовых графических элементов. Для этого системы комплектуются библиотеками стандартных элементов. Заметим, что разработку математических моделей радиоэлементов ведут фирмы-производители, которые в наибольшей степени заинтересованы в широком распространении своей продукции.

Компания OrCAD, основанная в 1985 г., выпускала программы для моделирования цифровых устройств и оформления чертежей радиосхем. OrCad разработала модуль расчета аналого-цифровых схем OrCAD - PSpice A/D, послуживший основой всех современных решении в этой области.

В январе 1998 г. она объединилась с компанией MultiSim, дополнив список своих продуктов системой аналогово-цифрового моделирования PSpice и системой сквозного проектирования DesignLab v.8.0.

DesignLab 8.0 — интегрированный программный комплекс корпорации MicroSim, предназначенный для сквозного проектирования аналоговых, цифровых и смешанных аналогово-цифровых устройств, синтеза устройств программируемой логики и аналоговых фильтров.

Наиболее легка в освоении программа Electronics Workbench (фирма Interactive Image Technologies). Она построена интуитивно понятно и работа с этой программой напоминает экспериментальную деятельность радиоинженера. В программе имеются виртуальные приборы (вольтметры, амперметры, генераторы, осциллограф, измеритель амплитудно-частотной характеристики и т. п.).

В последнюю версию MultiSIM & Electronics Workbench v 6.02 добавлены измеритель мощности, анализатор спектра и анализатор сети. Программа имеет большую библиотеку аналоговых и цифровых радиодеталей. В библиотеке содержатся сведения о транзисторах, диодах, резисторах, конденсаторах, триггерах, счетчиках, индикаторах и т. п.

Испытуемая схема «монтируется» на виртуальном столе, и затем делаются необходимые измерения. При этом настройка виртуальных измерительных приборов осуществляется практически так же, как и настройка реальных приборов. Создается полная иллюзия работы с конкретными действующими конструкциями.

Программа допускает возможность вносить изменения в схему прямо в процессе моделирования (например, с помощью переменных резисторов или коммутируемых клавишами переключателей). Это существенно повышает наглядность моделирования. Изменение параметров измерительных приборов (например, осциллографа) дает возможность исследовать сигналы в разных масштабах непосредственно в процессе моделирования. Это наиболее существенное отличие данной системы (другие работают в пакетном режиме моделирования и не допускают изменения параметров устройства в процессе его моделирования).

P-Cad (до 2006) или  сейчас Altium Designer — это современный программно-аппаратный комплекс, наиболее известный в России и предлагающий:

• единую среду для проектирования РЭС на базе печатных плат и ПЛИС;

• сквозную технологию от разработки или описания электрической схемы до подготовки платы к производству;

• работу с интегрированной базой данных электронных компонентов;

• поддержку двунаправленного интерфейса со многими распространенными CAD-системами;

• широкие возможности в пользовательских настройках;

• коллективную работу над единым проектом.

Cамым современным пакетом проектирования планарных СВЧ устройств в настоящей момент является программа Microwave Office компании AWR (Applied Wave Research), включающим средства разработки и моделирования линейных и нелинейных схем, 2.5D электромагнитного анализа планарных структур, топологический редактор, обширные наборы библиотек элементов с сосредоточенными и распределенными параметрами.

Компания Applied Wave Research специализируется на производстве высокоскоростных систем проектирования и моделирования ВЧ и СВЧ устройств для телекоммуникационного оборудования (сотовые телефоны, пейджеры, локальные системы спутникового цифрового вещания). В 1998 году компания Applied Wave Research выпустила на мировой рынок САПР СВЧ устройств мощное интегрированное решение Microwave Office для проектирования планарных СВЧ устройств, которое значительно потеснило позиции ближайших конкурентов: Ansoft и Hewlett-Packard. 

Счетное ядро программы может работать как в частотной, так и временной областях, и позволяет выполнять следующие виды анализа схем:

- одночастотный и многочастотный методы гармонического баланса для анализа нелинейных схем; - анализ на основе рядов Вольтерра; - анализ смесителей (также называемый конверсионно-матричный анализ); - высокоскоростной метод линейного анализа; - высокоскоростной метод анализа шумов, - анализ переходных процессов

– поддержка турбодекодеров стандарта 3G/4G (цифровых сигналов WiMAX, и LTE); – поддержка дополнительных CВЧ-моделей.

Пакет Microwave Office был разработан исключительно для высокочастотных и сверхвысокочастотных приложений. Это делает его значительно быстрее всех существующих продуктов. Например, стало возможным, используя метод гармонического баланса, настраивать несложные нелинейные схемы фактически в реальном времени.

В версии Microwave Office компания AWR реализовала вычислительное ядро, интегрирующее собственную математику и алгоритмы HSPICE компании Synopsys, соглашение о партнерстве с которой было подписано в ноябре 2002 года. Доступные ранее только для анализа в частотной области EM модели микрополосковых и щелевых линий теперь можно будет использовать как стандартные SPICE элементы. Аналогичным образом стали поддерживаться элементы описанные матрицами S-параметров. Антенный анализ Microwave Office включает:

– диаграммы направленности антенны, расчет поляризации, от круговой до эллиптической.; – расчет разнообразных характеристики антенн, включая усиление с учетом потерь; – просмотр и анимацию токов.

Функциональный уровень проектирования аналоговых устройств.

На функционально-логическом уровне исследуют устройства, в качестве элементов которых принимают достаточно сложные узлы и блоки, считавшиеся системами  на макроуровне. Поэтому необходимо упростить представление моделей этих узлов и блоков по сравнению с их представлением на макроуровне. Другими словами, вместо полных моделей узлов и блоков нужно использовать их макромодели.

Вместо двух типов фазовых переменных в моделях функционально-логического уровня фигурируют переменные одного типа, называемые сигналами. Физический смысл сигнала, т.е. его отнесение к фазовым переменным типа потока или типа потенциала, конкретизируют в каждом случае исходя из особенностей задачи.

Основой моделирования аналоговых устройств на функционально-логическом уровне является использование аппарата передаточных функций. При этом модель каждого элемента представляют в виде уравнения вход-выход, т.е. в виде

(1)

где   и   — сигналы на выходе и входе узла соответственно. Если узел имеет более чем один вход и один выход, то в (1) скаляры   и  становятся векторами. Однако известно, что представление модели в виде (1) возможно только, если узел является безынерционным, т.е. в полной модели узла не фигурируют производные.

Следовательно, для получения (1) в общем случае требуется предварительная алгебраизация полной модели. Такую алгебраизацию выполняют с помощью преобразования Лапласа, переходя из временной области в пространство комплексной переменной  .

Тогда в моделях типа (1) имеют место не оригиналы, а изображения сигналов   и  . Сами же модели реальных блоков стараются по возможности максимально упростить и представить их моделями типовых блоков (звеньев) из числа заранее разработанных библиотечных моделей. Обычно модели звеньев имеют в пространстве изображений вид где   — передаточная функция звена.

В случае применения преобразования Лапласа появляются ограничения на использование нелинейных моделей, а именно: в моделях не должно быть нелинейных инерционных элементов. Другое упрощающее допущение при моделировании на функционально-логическом уровне — неучет влияния нагрузки на характеристики блоков. Действительно, подключение к выходу блока некоторого другого узла никак не влияет на модель блока рис.1.

Собственно получение ММС из ММЭ оказывается вследствие принятых допущений значительно проще, чем на макроуровне: ММС есть совокупность ММЭ, в которых отождествлены сигналы на соединенных входах и выходах элементов. Эта ММС представляет собой систему алгебраических уравнений.

Получение ММС проиллюстрируем простым примером (см. рис. 1), где показана система из трех блоков с передаточными функциями  ,   и  . ММС имеет вид: или где 

Рис. 1.  Пример математической модели на функциональном уровне

Таким образом, анализ сводится к следующим операциям:

1. заданную схему устройства представляют совокупностью звеньев и, если схема не полностью покрывается типовыми звеньями, то разрабатывают оригинальные модели;

2. формируют ММС из моделей звеньев;

3. применяют прямое преобразование Лапласа к входным сигналам;

4. решают систему уравнений ММС и находят изображения выходных сигналов;

5. с помощью обратного преобразования Лапласа возвращаются во временную область из области комплексной переменной  .

Преобразования Лапласа. Исследование существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Преобразование Лапласа устанавливает взаимно однозначное соответствие между исходной функцией времени f(t) и другой функцией другой (комплексной) переменной F(p). Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

                  (2.1)

где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

                                      и  

                              (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a₂ s² Y(s) + a₁ s Y(s) + a₀ Y(s) = b₁ X(s) + b₀ X(s).

            Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

            Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

            Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов   на операторы sⁿ, знаков интегралов   на множители 1/s, а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

            Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:

  (2.3)

где f(t) - оригинал, F(j) - изображение при s = j, j - мнимая единица,  - частота.

            Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы, в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3).

Примеры типовых звеньев. Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую основу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но относится к одной группе. Соотношение входных и выходных сигналов в звеньях одной группы описываются одинаковыми передаточными функциями.

            Простейшие типовые звенья:

        усилительное,

        интегрирующее,

        дифференцирующее,

        апериодическое,

        колебательное,

        запаздывающее.

1. Усилительное звено

  Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления. Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз. Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.

 

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

   Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины

W(s)=

При подаче на вход звена воздействия выходной сигнал постоянно возрастает. Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

2.2) Реальное интегрирующее

. Передаточная функция этого звена имеет вид: W(s) =  .

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой. Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора.

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее. Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

;                 W(s) = K*s

   При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой (дельта-функцию).

3.2) Реальное дифференцирующее.

  Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям.  Переходная характеристика и передаточная функция этого звена имеют вид:

W(s) =  .

4) Апериодическое (инерционное).

   Этому звену соответствует ДУ вида:

;             W(s) =  .

y(t)=Kx₀₍1- ) Постоянная Т называется постоянной времени. Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону.

5) Колебательное звено имеет ДУ вида

W(s)= При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х₀ на переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т₁ > 2Т₂) или колебательный (при Т₁  < 2Т₂).

Таблица основных преобразований Лапласа

            Соединения звеньев.

            Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена встает задача объединения их в одну передаточную функцию объекта. Вид передаточной функции объекта зависит от последовательности соединения звеньев:

1) Последовательное соединение.

   x                                                                  W_об = W₁ W₂ W₃… При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются.

2. Параллельное соединение.

W_об = W₁ + W₂ + W₃ + …

При параллельном соединении звеньев

      их передаточные функции складываются.

 

 

 

3. Обратная связь

                                                Передаточная функция по заданию (х):

«+» соответствует отрицательной ОС, « - » - положительной.

 Передаточная функция по ошибке:

 Для определения передаточных функций объектов, имеющих более сложные соединения звеньев, используют либо последовательное укрупнение схемы, либо преобразуют по формуле Мезона.