Другой взгляд:

Потоки заявок и поток обслуживания - простейшие. Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа, у

которого имеются два состояния: S0 - канал свободен (ожидание); S1 - канал занят (идет обслуживание заявки).

Обозначим вероятности состояний: P0(t) - вероятность состояния «канал

свободен»; P1(t) - вероятность состояния «канал занят». По размеченному графу

состояний составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для

вероятностей состояний:

dP₀(t)/dt =-ля*P₀(t)+мю*P₁(t)

dP₁(t)/dt = -мю*P₁(t) +ля*P₀(t)

Система линейных дифференциальных уравнений (4.3) имеет решение с учетом

нормировочного условия P0(t) + P1(t) = 1 . Решение данной системы называется

неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим

образом:

P₀(t) =(ля/ля+мю)*exp-(ля+мю)t + мю/ля+мю

P1(t) = 1 - P0(t) = 1 .

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t)

есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.

Действительно, P0 - вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка,

пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени

t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0(t), т. е.

q = P0(t),

По истечении большого интервала времени достигается

стационарный (установившийся) режим t=бесконечность:

ку = P₀ = мю/ля+мю

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную.

Абсолютная пропускная способность (А) - среднее число заявок, которое может

обслужить система массового обслуживания в единицу времени: А=ля* ку=ля*мю/ля+мю.

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния

«канал занят»: Р_отк =Р₁ =1-Р₀ =1-мю/(ля+мю) = ля/(ля+мю).

Данная величина Pотк может быть интерпретирована как средняя доля

необслуженных заявок среди поданных

Пример 1. http://modelirovanie2009.narod.ru/modelirovanie_sistem_massovogo_obslujivaniia.pdf

Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост

ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль,

прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей лямбда = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими. Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

- относительной пропускной способности q;

- абсолютной пропускной способности А;

- вероятности отказа Pотк ;

1. Определим интенсивность потока обслуживания: мю =1/t_обсл=1/1,8=0,55

2. Вычислим относительную пропускную способность: ку=P₀ = мю/мю+лямбда=0,55/1+0,55=0,356

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать

примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.

3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле: A=лямбда*ку=1*0.356=0,356

Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356

обслуживания автомобилей в час.

4. Вероятность отказа: Р_отк =1-ку=0,644. Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост получат отказ в обслуживании.

5. Определим номинальную пропускную способность системы: (автомобилей в час).

Оказывается, что Аном =1/1,8=0,55 -в 1,5 раза больше, чем фактическая

пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания

Пример 2. Механизм разделения среды протокола Ethernet

упрощенно описывается простейшей моделью типа M/M/1 - одноканальной моделью с пуассоновским потоком заявок и показательным законом распределения времени обслуживания. Она хорошо описывает процесс обработки случайно поступающих заявок на обслуживание системами с одним обслуживающим прибором со случайным временем обслуживания и буфером для хранения поступающих заявок на время, пока обслуживающий прибор занят выполнением другой заявки (рисунок 4.1). Передающая среда Ethernet представлена в этой модели обслуживающим прибором, а пакеты соответствуют заявкам. В теории массового обслуживания для данной модели получены следующие результаты: среднее время ожидания заявки в очереди (время ожидания пакетом доступа к среде) W равно:

W =T_av = a*лямбда/(1-a).