23.Ротор (вихрь) векторного поля

или в символическом виде

Свойства ротора

Поток векторного поля через поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали

где - величина проекции вектора на направление вектора

Если поверхность S задана уравнением поток через верхнюю сторону поверхности можно вычислить по формуле

Если уравнение поверхности S есть то

24. Оператор Гамильтона и его применение

Опера́торна́бла (оператор Гамильтона) — векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла).Длятрёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом:

где — единичные векторы по осям x, y, z.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа grad,,div,rot, а также оператор Лапласа.Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике.

Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор с компонентами в n-мерном пространстве

Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Если умножить вектор на скаляр , то получится вектор

который представляет собой градиент функции .

Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр

то есть дивергенция вектора .

Если умножить на векторно, то получится ротор вектора :

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

25.Дифференциальные уравнения. Порядок, решение, общий интеграл.

Дифференциа́льноеуравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида:

или