18.Критерий устойчивости Гурвица и Михайлова(111 сабанин и 107 Ротач)

Устойчивость-способность динамич. систем возвращаться в исходное установившееся состояние после снятия внешних воздействий(возмущений).Устойчивость явл.внутренним свойством динамической системы и не зависит от точки внесения возмущения,но зависит от её параметров.Изменяя параметры можно вывести систему из устойчивого состояния и ввести её обратно.Для динамич. сист,описываемых линейн.диф.ур,устойчивость можно оценить по корням характеристического уравнения.

Гурвица

Для оценки уст-ти исп-т: алгебраич. и частотн. критерии уст-ти. Алгебраический критерий уст-ти Гурвица(1895) позволяет оценить уст-ть по коэф-ам характеристич. ур-ия: a_n·rⁿ+ a_n-1·r^n-1+..+a₁r+a₀=0.Определитель(матрица)Гурвица.(по главной диагонали последовательно записываются n коэффициентов,начиная с а1.Столбцы определителя,начиная от элементов главной диагонали,заполняются вверх по возрастающим индексам,вниз - по убывающим.Коэф. с индексом меньше нуля или больше n заполняются нулями.

Крит. уст-ти Гурвица:для уст-ти сис-мы необх. и достаточно, чтобы при a_n>0 все диагональные миноры Гурвица,составленные из коэф-ов характеристич. ур-ия были положительными.Условие границы уст-ти:Сис-ма на границе уст-ти,если Δ_n=a₀· Δ_n-1=0,если 1) a₀=0 2) Δ_n-1=0-сопряженную пару мнимых корней.

Частотный критерий уст-ти А.М.Михайлова.Характеристич. ур-ие a_n·Sⁿ+ a_n-1·S^n-1+..+a₁S+a₀=0. Полином: F(iω)= a_n·(iω)ⁿ+..+a₁· iω +a₀, F(iω)-вектор в комплексной пл-ти, при ω=var-след вектора– годограф Михайлова.

Критерий Михайлова:Сис-ма устойчива, если при изменении ω от 0 до годограф характеристич. вектора, начинаясь на положительной действительной полуоси проходит против часовой стрелки послед-но n квадрантов комплексной пл-ти, где n-порядок ДУ. Полином F(s) в виде произведения сомножителей F(s)= a₀·(s-s₁)·(s-s₂)·..·(s-s_n),где s_1,s₂..s_n-корни полинома F(s). F(iω)= a₀·( iω -s₁)·( iω -s₂)·..·( iω -s_n).Каждый из сомножителей F(iω)-вектор,совершающий поворот при изменении ω от - до + на угол π против часовой стрелки,если корень в левой полупл-ти, и на π по часовой стрелке для каждого корня справа от оси iω.

При измении ω от - до + вектор F(iω) повернется на уогл n· π. При изменении частоты от 0 до в устойчивой сист-ме Δarg(F(iω))=n·π/2 – Принцип аргумента.

19.Критерий устойчивости Найквиста(Ротач 108)

Характерист уравнение сист регулирования с отриц обр связью получается путём приравнивания знаменателя её передат ф-ии к нулю:

1 + W_рс(s) = 0. Устойчивость систем м.б. исследована с помощью критерия Найквиста; сущность этого критерия состоит в след.

Запишем: W_рс(jω) = -1. Из полученного уравнения следует, что о наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары мнимых корней можно судить по КЧХ р.к.: если она проходит через точку (-1; j0) при некоторой частоте ω, то характ ур-ие з.к. будет иметь пару соответствующих мнимых корней. Меняя значения одного или неск параметров системы, можно определить границу областей в пр-ве этих параметров, где контур будет устойчивым, а где нет. Об уст-ти з.к. при той или иной вариации можно судить по виду КЧХ р.к.

Будем рассматривать левую ч. Ур-ия 1 + W_рс(s) = 0 как новую ф-ию s:

N(s) = 1 + W_рс(s). Если в контуре отсутствует запаздывание, то эту функцию после замены s = jω можно записать следующим образом:

Как легко видеть числитель – характеристич вектор замкнутого контура системы, а знаменатель – характеристический вектор разомкнутой системы, причём оним имеют одинаковую степень n, равную степени полинома D_pc(s). В соотв-ии с крит. Уст-ти Михайлова, если разомкнутый контур устойчив, вектор D_pc(s)при изменении ω от ω=0 до ω= совершит против часовой стрелки поворот на угол n*90^o (где n – степень характер ур-ия); если, кроме того, устойчив и з.к., то на такой же угол повернётся и вектор . Следовательно, суммарный угол поворота вектора N(jw) в этом сл окажется равным нулю (т.к. угол повороты частного от деления двух векторов равен разности их углов поворота).

Отсюда следует частотный критерий уст-ти з. к. Найквиста: если разомкнутый контур устойчив и общий угол поворота вектора N(jw) при изменени частоты ω от ω=0 до равен нулю, то контур останется устойчивым и после его замыкания.

Формула для вектора N(jw) м.б. представлена след образом:

N(s) = W_рс(s) – (-1), т.е. вектор N(jw) может рассматриваться как разность 2 векторов: вектора W_pc(jw) и вектора, роведённого из начала координат в точку (-1; j0). Т.о., геометрически N(jw) изображается вектором, проведённым из точки (-1; j0) к КЧХ р.к. W_рс(jw). Это позволяется дать и другую формулировку критерия: если разомкнутый контур устойчив и общий угол поворота вектора, проведённого из точки (-1; j0) к КЧХ разомкнутого контура Wрс(jw), при изменении частоты ω от ω=0 до ω= равен нулю, то контур останется устойчивым и после его замыканияю.

С геометрической точки зрения равенство нулдю общего угла поворота вектора N(jw) свидетельствует о том, что точка (-1; j0) оказывается вне пределов области, очерчиваемой годографом W_рс(jw). Поэтому рассматриваемый критерий чаще всего формулируют следующим образом: контур, устойчивый в разомкнутом состоянии, сохранит устойчивость и после замыкания, если его КЧХ в разомкнутом состоянии не охватывает точки (-1; j0).

Достоинства критерия Найквиста:

• Может быть применён и для исследованияустойчивости замкнутых контуров с запаздыванием;

• Его можно использовать, когда модель объекта получена экспериментально в виде частотных характеристик.