3.Геометричне визначення ймовірності.

Геометричне означення ймовірності. Якщо простір елементарних подій  можна подати у вигляді деякого геометричного предмета, а множину елементарних подій для подій А – як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин P(A)=(A)/().При цьому вважається, що попадання в деяку частину геометричного образу пропорційна до міри цієї його частини.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n. Знаходження статистичної ймовірності пов’язане з проведенням n випробувань, тому вона називається ще частістю, або відносною частотою, події.

4.Визначення ймовірності за аксіоматичним підходом.

Ймові́рність  — числова характеристика можливості того, що випадкова подія відбудеться в умовах, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів.

Аксіоматичний підхід, строго сформульований Колмогоровим, будується на припущенні, що імовірності елементарних випадкових подій задані, і зосереджується на визначенні ймовірностей складних подій, що є сукупністю елементарних. Так, наприклад, при підкидуванні шестигранного кубика гральної кості, ймовірності випадіння будь-якого числа, вважаються однаковими й рівними 1/6. Виходячи з цієї аксіоми, теорія ймовірності може розрахувати ймовірність того, що сума чисел на двох костях буде, наприклад, 8. Аксіоми: 1) 0≤P(A)≤1; 2) P(A)=1, если А - достоверное событие;

3) , если А и В несовместны.

5. Прості та складні випадкові подій. Простір елементарних подій. Математичні операції над подіями.

6. Використання елементів комбінаторики у теорії ймовірності.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!

Розміщенням із n елементів по m

(0≤m≤n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)!

Комбінаціями з n елементів по m

(0≤ m≤n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)!

7.Теореми додавання ймовірностей.

Теорема 1. Ймовірність появи однієї з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Р( А  В ) = Р ( А ) + Р ( В ).

Наслідок. Ймовірність появи однієї з декількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р( А₁  А₂  … А_n ) = P(A₁ + A₂+…+ A_n ).

Теорема 2. Нехай А та В - випадкові події. Тоді ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих двох подій без ймовірності їх сумісної появи:

      

Теорема може бути узагальнена на довільне число сумісних подій.

Теорема 3. Нехай А₁, А₂, …,А_n  випадкові події. Тоді