14.2. Суперконформная алгебра

14.2.1. Квадратный корень из бозонных и фермионных связей

Мы показали, что конформная алгебра является первым пря­мым произведением двух групп одномерных диффеоморфизмов. Структура этого прямого произведения проявляется в виде ге­нераторов Q⁺(o) и Q~(o):

Q+ (_а) = р_Ар^А ^2к(Ж + Ж_л\ (14.2.1.1)

Q" (_а) = S_AS^A = 2л(Ж — Жд. (14.2.1.2)

206 Глава 14

Здесь мы положили

Р_А (а) = л л/Ы<?_А (а) + -±= Х'_А (а), (14.2.1.3)

S_A (а) = я У2^_Л И - -1^Г,(а). (14.2.1.4) Следовательно,

Рд(о), Р_а(сг')З = 2пц_АВЬ'(а, а'), (14.2.1.5а)

[Р_А (a), S_B (а')] = 0, (14.2.1.56)

₍ 5_В (о')] = - 2лц_АВ6' (а, а'). (14.2.1.5в)

(Функция Ра(о), определенная здесь, отличается от функции Ра(о) в разд. 13.4.2 простым численным множителем.)

Введем теперь новые вещественные фермионные (т. е. анти-

коммутирующие) переменные Г* (а) и новые фермионные ге­нераторы-связи ZPiio) (i = 1,2 — спинорный индекс в двух из­мерениях) так, чтобы при антикоммутации 5?;(а) давали га-мильтоновы связи Q^±(o). Проще всего выбрать ^[)

М, а') (14.2.1.6) и определить

(14.2.1.7a) ₂ (14.2.1.76)

Непосредственно вычисление дает

(^ja, a'), (14.2.1.8а)

(14.2.1.86)

(14.2.1.8в)

Правая часть системы (14.2.1.8) не принимает желаемый вид, если не переопределить Q⁺{o) и Q~(o) в виде

(a) = P^^A + yrf-^L, (14.2.1.9а)

(_a) ^=S_AS^A - у Г₂^А-^. (14.2.1.96)

¹) Скобки Пуассона (14.2.1.6) симметричны, как и должно быть для фер-мнонных переменных. Они мнимы, так как переменные Г^л (сг) вещественны.

Фермионная струна: классический анализ 207

Генераторы Q⁺(o) и Q~(o) принимают корректный вид за счет фермионных переменных. Модифицированная форма выраже­ний (14.2.1.9) выглядит физически оправданной, если вспом­нить, что Q⁺(o) и Q~(o) являются изотропными компонентами J++ _и J-- тензора энергии-импульса. Поэтому естественно по­явление вклада фермионных степеней свободы в Т^а$.

Реальный способ установить правильность выражений (14.2.1.9) состоит в проверке того, что Q^±(o) и 5?,- (о) образуют замкнутую (градуированную) алгебру. (Символы ^(о) теперь будут обозначать выражения (14.2.1.9).) Легко видеть, что это требование выполнено, так как имеет место не только соотно­шение

\9>_х(с), ^i (ff')l - - 4ш(?⁺ (а) 6 (а, о') (14.2.1.10а)

(соотношение (14.2.1.8а)), но также соотношения

[<2⁺И, 9^f_l(a^/)]=2n(29^?_l(a) + 9^?_l(o^f))^ (о, а'), (14.2.1.106)

[Q⁺ (а), Q⁺ (о'}} = 4я(<2⁺ (а) + Q⁺ (с/)) б' (а, а). (14.2. МОв)

Следовательно, генераторы-связи ^i(a) и Q⁺(a) образуют систему первого рода. Аналогично оказывается, что 9>\(о) и Q⁺(o) имеют нулевые скобки с 9*2(0) и Q~(o) и

о, о')_у (14.2.1.11а)

^₂(ст0)б^/(о, а% (14.2.1.116) [Q-(o)_y Q~(o')] = -4n(Q~(o)-\-Q-(o'))6^/(a_> a'). (14.2.1.Ив)

Заметим, что скобки [Q^±(cr), Q^±(o')] остаются без изменения. Из этого анализа следует, что можно согласованно нало­жить условия

Q* (а) = 0 = ^ (а). (14.2.1.12)

Соотношения (14.2.1.10) и (14.2.1.11) определяют (N = \)-градуированное расширение конформной алгебры, известное также как суперконформная алгебра. Генераторы-связи 9*i(o) и Q^±(o) и супералгебра (14.2.1.10) и (14.2.1.11) полностью ха­рактеризуют фермионную модель струны.

Метод квадратного корня весьма эффективен при получении гамильтоновых связей, характеризующих фермионную модель струны (в описанном выше "непрерывном" представлении они впервые были получены Ивасаки и Киккавой [48]).

Величины Q^±(o) и Pi (а) можно было бы получить методами супергравитации следующим образом. Лагранжиан ^V=I-су­пергравитации, связанный с суперсимметричным материальным

208 Глава 14

мультиплетом (Х^л, Г^л), задается выражением [45]

W {

x* + 1 Г^вфр)} , (14.2.1.13)

)}

где р^а — двумерные 7"^матрицы, е^а_а — компоненты двумерной тет­рады, е — детерминант е^а_а (= V—g), а у_а — суперсимметрич­ный партнер спина 3/2 для g_a$, d материальных мультиплетов содержат поля спина 0 и спина 1/2 (в двух измерениях). Действие (14.2.1.13) обладает многими симметриями:

1. локальной суперсимметрией и инвариантностью (относи­ тельно замены двумерных координат);

2. локальной вейлевской и "супервейлевской" инвариант­ ностью ^{)

Х^А~>Х^Л, Т^Л-+К~¹¹²Т\

_РаФ;

3. локальными двумерными лоренцевыми вращениями тет­ рады;

4. глобальной пуанкаре-инвариантностью (при этом I^м — ^-вектор); действие не является глобально суперсимметричным (в d измерениях).

Вследствие калибровочной инвариантности и отсутствия ки­нетических членов для "гравитона" и "гравитино" преобразова­ние Лежандра сингулярно. Для получения гамильтониана не­обходимо применять метод Дирака. Эта процедура аналогична той, которая использовалась в случае бозонной струны.

После использования подходящего упрощения формализма (и подхода работы [49]) гамильтониан принимает вид

Я=$ do(N3% + N^+M?), (14.2.1.15)

где связи Ш = 0, Ж\ =0 и 9*i• = 0 генерируют соответственно репараметризации (Ж и Ж\) и локальные преобразования су­персимметрии (Pi). В выражении (14.2.1.15) локальная лорен-цева калибровка фиксирована требованием ортогональности одного из тетрадных направлений линиям т — const.

Остаются канонические переменные Х^А(а), <Р^А(о) и двумер­ные спиноры Г (а) = (Г* (а)), удовлетворяющие соотношениям

') Вследствие инвариантности (14.2.1.14) связи Г_ар = 0 и /_а = 0 (ну­левой суперток) не являются независимыми. Оказывается, что Г^ + \J2J_aty^a = = 0 (в соответствии с уравнениями движения для Г ) и /_ар^а = 0.

Фермионная струна: классический анализ 209

(14.2.1.6) *). Связи Ж (о) и Ж\(а) следующим образом соотно­сятся с Q^cr):

^ \ (14.2.1.16a)

(14.2.1.166)

а фермионная связь 9> обозначает (9^?и9^?2)- Наконец, фермион-ный лагранжев множитель М равен yjp₀.

Этим завершается все, что следует сказать по поводу вы­вода гамильтониана из лагранжиана (14.2.1.13). В самом деле, мы уже получали описанный выше гамильтониан путем приме­нения метода извлечения квадратного корня, непосредственно дающего канонические генераторы в терминах только динамиче­ских переменных. Подчеркнем также, что нет необходимости фиксировать локальные суперсимметрии или репараметризации, чтобы получить выражения (14.2.1.7) и (14.2.1.9) для генерато­ров-связей Ж, Ж\ и <?1.

Упражнения

1. Получите связи Ж, Ж\ и 9*t из лагранжиана.

1. Сравните спинорные члены в Ж и Ж\ с компонентами тензора энергии-импульса Т_а$(Т).

2. Вычислите [rf (<т), \ йъ'Ж_х (a')N^l (а')] и покажите, что

Г? (а) действительно имеет вес 1/2.

4. Вычислите кинетический член в каноническом действии, воспроизводящем скобки (14.2.1.6).