4. Находим силу реакции в заделке, используя уравнение равновесия для участка 2. → → .

5. Строим эпюру продольных сил, откладывая по оси координату сечения, по оси - величины поперечных сил. Эпюра показывает, как изменяются внутренние усилия при переходе от сечения к сечению. На участках 1-1 и 2-2 поставлен знак продольной силы, указывающий какой деформации подвержены сечения этих участков. В данном примере участок 1 растянут, а участок 2 – сжат.

В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре имеются скачки, равные соответственно силам, приложенным в точках , , .

Величина продольной силы может быть определена и по формуле (2):

,

2. Напряжения и деформации

При растяжении (сжатии) в каждом сечении бруса возникают нормальные напряжения, равномерно распределяющиеся по сечению:

, (2.1)

где величина продольной силы в сечении,

площадь сечения.

Деформация (удлинение, укорочение) определяется по закону Гука:

, (2.2)

где абсолютное удлинение бруса,

длина бруса,

модуль упругости первого рода материала бруса.

Если продольная сила и площадь сечения зависят от координаты сечения , то

. (2.3)

Перемещение какого-либо сечения на том участке бруса относительно неподвижного сечения равно сумме деформаций всех предыдущих участков и деформации рассматриваемой части го участка:

(2.4)

Знак перемещения бруса совпадает со знаком продольной силы.

Условие прочности при растяжении (сжатии):

(2.5)

Проектный расчет - определить площадь бруса выполняют по формуле:

(2.6)

При определении размеров сечения следует использовать рекомендации ГОСТ - а 6636-69.

Проверочный расчет на прочность выполняют по условию:

, (2.7)

где - рекомендуемый коэффициент запаса для заданного материала и для заданных условий работы бруса.

Проверочный и проектный расчеты на жесткость бруса выполняют, используя формулу:

(2.8)

З адача 2. Построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений для бруса, изображенного на рис. 5, и подобрать размеры квадратного поперечного сечения, если заданы кН, см, МПа, , мм,

МПа, МПа.

1. Устанавливаем для бруса в целом систему координат в точку и определяем реакцию в заделке, используя уравнение равновесия:

→ кН.

2. Разбиваем брус на пять участков, начиная с левого конца бруса, т.к. эпюру перемещений следует строить, начиная от заделки.

3. Устанавливаем для каждого участка свою координатную систему с началом соответственно в точках .

4. Определение величины продольной силы для каждого участка :

участок .

Проводим сечение 1-1 и отсекаем правую часть бруса. Оставляем левую часть. Составляем уравнение равновесия для оставленной части:

→ → . кН.

Участок растянут. Величина силы равна: .

участок . Проводим сечение 2-2 и отсекаем правую часть бруса. Составляем уравнение равновесия для оставленной левой части:

→ . Проекция силы отрицательная, следовательно, сила направлена в сторону, противоположную нормали. Сечение 2-2 сжато, → кН.

участок . На этом участке дополнительных внешних сил нет. Он отличается от участка только размером сечения. Сечение 3-3 сжато, → кН.

участок . Проводим сечение 4-4 и отсекаем правую часть бруса.

Составляем уравнение равновесия для оставленной левой части:

→ . Сечение 4-4 растянуто, → кН.

участок . Проводим сечение 5-5 и отсекаем правую часть бруса.

Составляем уравнение равновесия для оставленной левой части:

→ →

По полученным данным строим эпюру продольных сил (рис.5).

5. Определение площади поперечного сечения на участках бруса из условия (2.6):

, где площадь сечения на участках .

На участках площадь сечения равна .

участок → .

участок →

участок .

участок

участок не рассматриваем, т.к. .

Из полученных данных находим, что максимальная величина правой части у неравенств - на участке . Следовательно, величину определяем по формуле для участка :

→ → м² → см² .

Сторона квадратного сечения равна: → см.

На основании ГОСТ 6636-69 принимаем см → см². → м².

6. Определение нормальных напряжений для каждого участка по формуле (2.1).

участок. → → Па → МПа

участок → → Па → МПа.

участок → → Па → МПа .

участок → → Па → МПа.

участок → .

По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений в сечениях бруса (рис. 5).

7. Проверочный расчет на прочность по коэффициенту запаса.

Условие прочности:

Максимальное нормальное напряжение имеется на участке : МПа.

. Поскольку , условие на прочность выполнено.

.

8. Определение перемещений сечений бруса по участкам.

На том участке перемещение сечения с координатой относительно заделки равно удлинению (укорочению) части этого участка длиной, равной :

. Это уравнение прямой линии. Для ее построения достаточно знать две точки.

участок

. При → , → .

Перемещение сечения с координатой равно:

м.

участок .

. При → , → .

Деформация второго участка равна:

Перемещение сечения с координатой равно:

м.

участок

. При → , → .

Деформация третьего участка равно:

.

Перемещение сечения с координатой равно:

→ .

участок .

. При → , при .

Деформация четвертого участка равно:

м.

Перемещение сечения с координатой равно:

→ , м.

участок .

. При → , при .

Поскольку , деформация пятого участка .

Перемещение сечения с координатой равно:

, м.

Перемещение участка равно перемещению участка , следовательно, участок перемещается как абсолютно твердое тело.

Удлинение бруса в целом м, перемещение сечения с координатой равно м.

По полученным данным строится эпюра перемещений сечений балки (рис. 5).

9. Проверочный расчет бруса на жесткость.

Используем уравнение (2.8).

Наибольшее перемещение получает сечение участка с координатой

мм, мм → . Следовательно, условие на жесткость выполнено.

11