8. Неравенство Чебышева

Если случайная величина X имеет среднее значение m_x и конечную дисперсию D_x, то неравенство Чебышева утверждает: каково бы ни было наперед заданное положительное число , вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего среднего не меньше, чем на , ограничена сверху величиной D_x,/²:

. (A.47)

Доказательство неравенства (A.47) проведем для непрерывной слу­чайной величины X, заданной на бесконечном интервале  с плотностью вероятности  x. По формуле (A.39)

.

Так как  x  0, то подынтегральная функция в последнем выражении положительна. Поэтому, если распространить интегрирование только на те значения x, которые удовлетворяют неравенству , то интеграл от этого только уменьшится:

. (A.48)

Интеграл (A.48) еще уменьшится, если, в соответствии с неравенством , величину заменить величиной ^:

.

Последний интеграл, на основании (A.22), представляет собой вероят­ность выполнения неравенства , т. е.

.

Таким образом,

.

Откуда следует неравенство Чебышева (A.47).

Из неравенства Чебышева следует, что вероятность отклониться значению случайной величины от ее среднего на величину большую не может быть больше 1/9, т. е.

.

Последнее неравенство, очевидно, имеет место для любых законов распределения x. Фактически для всех используемых на практике плотностей вероятностей x непосредственный расчет вероятности дает значение значительно меньшее 1/9. Поэтому, если для некоторой случайной величины известно и m_x, то с высокой уверенностью можно утверждать, что эта случайная вели­чина будет крайне редко принимать значения вне интервала .

9. Теорема Чебышева

Пусть имеется случайная величина X со средним значением m_x и конечной дисперсией D_x. Теорема Чебышева утверждает, что при неограниченном увеличении числа независимых опытов среднее арифмети­ческое наблюдаемых значений x_i сходится по вероятности к ее сред­нему значению m_x, т. е.

, (A.49)

где    как угодно малые заданные положительные числа.

Иными словами, теорема утверждает, что достаточно большим выбором числа независимых опытов n можно добиться того, что сред­нее арифметическое наблюдаемых значений с вероятностью почти равной единице (достоверно) будет равняться среднему значению случайной величины.

Для доказательства введем в рассмотрение случайную величину Y, равную среднему арифметическому наблюдаемых значений X_i, получен­ному по конечному числу независимых опытов, т. е.

. (A.50)

Наблюдаемые в опыте x_i можно, очевидно, рассматривать как незави­симые случайные величины X_i с одним и тем же законом распределения. Поэтому средние значения у них одинаковы и равны m_x. Дисперсии тоже одинаковы и равны D_x.

Пользуясь основными свойствами среднего и дисперсии, найдем среднее значение и дисперсию случайной величины Y.

. (A.51)

. (A.52)

Из последних соотношений видно, что независимо от числа опытов, среднее значение Y равно среднему значению величины X, а дисперсия Y при увеличении числа опытов стремится к нулю. Из этого следует (на основании первого свойства дисперсии), что среднее арифметическое Y при достаточно большом числе опытов перестает быть случайной величиной, стремясь к постоянной m_x дисперсия которой равна нулю.

В неравенство Чебышева

, (A.53)

записанного для случайной величины Y, подставим соответствующие значения из выражений (A.50)–(A.52). В результате получим

. (A.54)

При конечной дисперсии D_x, как бы малы ни были заранее заданные положительные числа  и , выбором достаточно большого числа опытов n можно правую часть неравенства (A.54) сделать меньше , т. е.

. (A.55)

Введем в рассмотрение два противоположных события A и , т. е. два несовместных события, образующих полную группу, для которых

P(A) + P( ) = 1, (A.56)

Событие A заключается в том, что при n опытах величина оказалась больше или равной , а событие – та же величина приняла значение строго меньше .

Тогда выражение (A.56) можно переписать в виде

. (A.57)

Подставив выражение (A.57) в (A.55), получим

(A.58)

что и доказывает теорему Чебышева.