Статистика

Эмпирическая функция распределения (ЭФР) случайной величины , построенная по выборке , имеет вид:

где указывает, попало ли наблюдение X_i в область :

Статистика критерия для эмпирической функции распределения определяется следующим образом:

где  — точная верхняя грань множества .

Критерий

Обозначим нулевую гипотезу , как гипотезу о том, что выборка подчиняется распределению . Тогда по теореме Колмогорова для введённой статистики справедливо:

Учтём, что критерий имеет правостороннюю критическую область.

Правило (параметрический критерий Колмогорова).Если статистикапревышаетквантильраспределения Колмогоровазаданногоуровня значимости, то нулеваягипотеза(о соответствии закону) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне.

Если достаточно велико, то можно приблизительно рассчитать по формуле:

Асимптотическая мощность критерия равна 1.

Обозначим теперь за нулевую гипотезу гипотезу о том, что две исследуемые выборки подчиняются одному распределению случайной величины .

Теорема Смирнова.Пусть— эмпирические функции распределения, построенные по независимым выборкам объёмомnиmслучайной величиныξ. Тогда, если, то, где.

Теорема Смирнова позволяет использовать данный критерий для проверки двух выборок на однородность.

Правило (непараметрический критерий Колмогорова).Если статистикапревышаетквантильраспределения Колмогоровазаданногоуровня значимости, то нулеваягипотеза(об однородности выборок) отвергается. Иначе гипотеза принимается на уровне.

2)Критерии Колмогорова и Смирнова, о которых идет речь ниже, очень широко применяются в случае непрерывных функций распределения.

Мы ограничимся лишь рассмотрением случая простой гипотезы

Основой всех методов является рассмотрение некоторой удачно выбранной меры расхождения между выборкой и гипотетическим распределением, а также возможность описать асимптотическое распределение этой меры расхождения при росте объема выборки. В случае критерия Пирсона этой мерой расхождения была функция .

Для критериев Колмогорова и Смирнова выбор меры расхождения связан с эмпирической функцией распределения  (см. Определение 6.1). А именно, рассматриваетсястатистика Колмогорова

и статистика Смирнова

соответственно. Замечательно то, что эти функции легко могут быть вычислены по выборке (не требуется брать какие-либо интегралы, все сводится к простым выражениям, содержащим конечное суммирование и взятие максимума, см., например,  10.2 в [13]).

Коснемся вопроса об асимптотическом распределении этих функций. По теореме Гливенко (см. (28)) при выполнении гипотезы  статистика  стремится к нулю при. Оказывается, что если ее домножить на , то в пределе получится нетривиальное распределение. Более точно, верна теорема Колмогорова: Если гипотеза  верна и непрерывна, то

1. распределение статистики является одним и тем же для любой функции распределения и

2. у последовательности существует предельное распределение при .

Это предельное распределение не совпадает ни с одним упоминавшемся здесь ранее и носит название распределения Колмогорова.

Аналогичное по характеру утверждение имеет место и для статистики Смирнова, а именно, при верной гипотезе  и непрерывной 

1. распределение зависит только от и не зависит от ,

2. у последовательности существует предельное распределение при .

Теоремы Колмогорова и Смирнова являются основой для построения соответствующих критериев согласия с критическими множествами вида

    и 

соответственно. Числа определяются по заданным уровням значимости из таблиц допредельных (или предельных, если очень велико) распределений Колмогорова и Смирнова.

Билет №28