12. Прямая в прямоугольной декартовой системе координат. Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали. Расстояние от точки до прямой.

Дать определения вектора, перпендикулярного данной прямой; вектора нормали (нормального вектора) прямой. Сколько векторов нормали существует для каждой прямой на плоскости? Как они расположены относительно друг друга? Ввести обозначение вектора нормали прямой d, сделать чертёж. Доказать лемму 1 о геометрическом смысле коэффициентов А и В в общем уравнении прямой, заданной в прямоугольной декартовой системе координат. Доказать следствие об уравнении прямой, заданной в прямоугольной декартовой системе координат, точкой и вектором нормали. Доказательство сопровождать чертежом. Дать определение расстояния от точки М₀ до прямой d, если , . Ввести обозначение. Доказать теорему о расстоянии от точки до прямой, заданной в прямоугольной декартовой системе координат общим уравнением, сделать чертёж.

13. Прямая в прямоугольной декартовой системе координат. Направленный угол между двумя прямыми на ориентированной плоскости.

Дать определение угла между пересекающимися прямыми на плоскости. Ввести обозначение. В каких пределах находится величина угла между пересекающимися прямыми? Сделать чертёж. Дать определение направленного угла между прямой d₁ и прямой d₂ на ориентированной плоскости. Ввести обозначение. Сделать чертёж. В каких пределах находится величина направленного угла между прямыми? Сформулировать теорему о тангенсе направленного угла между прямыми. Сформулировать и доказать два следствия из этой теоремы. В каждом следствии рассмотреть два случая: вывести формулу для тангенса направленного угла между двумя не перпендикулярными прямыми и условие перпендикулярности двух прямых, когда прямые заданы общими уравнениями и когда прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами.

Плоскости и прямые в пространстве

14. Различные уравнения плоскости в аффинной системе координат.

Перечислить геометрические способы задания плоскости. Сделав соответствующие чертежи, вывести различные уравнения плоскости в аффинной системе координат в пространстве (уравнение плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами, уравнение плоскости, заданной тремя точками, параметрические уравнения, уравнение плоскости «в отрезках»). В каждом случае пояснить геометрический смысл всех входящих в уравнения букв.

15. Общее уравнение плоскости в аффинной системе координат.

Сформулировать и доказать теорему об общем уравнении плоскости (прямое и обратное утверждение). Дать определение общего уравнения плоскости и текущих координат произвольной точки плоскости.

16. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости.

Сформулировать и доказать лемму о параллельности вектора и плоскости, сделать чертёж. Выяснить особенности расположения плоскости относительно аффинной системы координат О, , , , если некоторые из чисел А, В, С и D равны нулю (рассмотреть 13 случаев).

17. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью.

Сформулировать теорему о взаимном расположении двух плоскостей. Взаимное расположение трёх плоскостей (перечислить 8 случаев, сделать чертежи). Привести пример на взаимное расположение трёх плоскостей. Сформулировать теорему о геометрическом смысле знака многочлена Ax+By+Cz+D. Дать понятия пучка плоскостей и связки плоскостей, записать их уравнения.

18. Плоскость в прямоугольной декартовой системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью.

Дать определение вектора, перпендикулярного плоскости. Дать определение вектора нормали плоскости. Ввести обозначение. Сделать чертёж. Вывести в прямоугольной декартовой системе координат уравнение плоскости, заданной точкой и вектором нормали, сделать чертёж. Геометрический смысл коэффициентов А, В и С в общем уравнении плоскости, заданном в прямоугольной системе координат. Дать определение расстояния от точки до плоскости, сделать чертёж. Записать формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости и расстояния между двумя параллельными плоскостями, пояснив геометрический смысл всех входящих в них букв. Дать определение угла между пересекающимися плоскостями. Вывести формулу для вычисления косинуса угла между двумя плоскостями, сделать чертежи к доказательству. Записать условие перпендикулярности двух плоскостей.