5. Випадкові величини (вв). Дискретні та неперервні вв.

Случайная величина(СВ) – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее – какое именно.

Закон распределения СВ – всякое соотношение, устанавливающее связь между всевозможными значениями СВ и соответствующими вероятностями.

Дискретная СВ – случайная величина, множество значений которой конечно или счетное и принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. Задается рядом распределения, многоугольником распределения, функцией распределения.

Ряд распределения – таблица, в которой перечислены возможные значения СВ Х и соответствующие им вероятности. Р = Р(Х=х ),

Многоугольник распределения – Графическое изображение ряда распределения.

Непрерывная СВ – случайная величина, которая принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка; непрерывно занимает некоторый промежуток.

Задается функцией распределения и функцией плотности.

Для НСВ вводятся те же числовые характеристики, что и для ДСВ. В формулах для их вычисления суммы заменяются интегралами, например:

М(Х) =

причем, требуется, чтобы написанный несобственный интеграл сходился абсолютно.

Для НСВ Х вводится еще одна характеристика – медиана Ме(Х) – следующим равенством:

Р(Х < Me(X)) = P(X > Me(X)).

Распишем функцию от случайной величины.

Пусть НСВ Х и Y связаны функциональной зависимостью Y = (х), где (х) – дифференцируемая функция, монотонная на всем интервале возможных значений СВ Х. Тогда, если f (x) – плотность СВ Х, а g(y) – плотность СВ Y, то g(y) = f((y))| ’(y)|,

где (y) – функция, обратная по отношению к (х).

Если на интервале возможных значений СВ Х обратная функция (y) неоднозначна, т.е. одному значению у соответствует несколько значений х: ₁(y), ₂(y),…, _n(y), то плотность СВ Y определяется формулой:

Распишем функцию от 2-х случайных величин.

Для функции нескольких случайных величин удобнее искать функцию распределения, а плотность определять дифференцированием. Если НСВ Z есть функция от двух случайных аргументов Х и Y: Z =  (X, Y), то ее функция распределения имеет вид:

где f(x,y) – совместная плотность системы случайных величин (X, Y), а двойной интеграл берется по области D(Z) плоскости хОу, для которой (x,y) < z.

6. Функція розподілу ймовірностей. Непереривні випадкові величини.

Щільність ймовірностей.

Функцией распределения (вероятностей) СВ Х называют функцию F(x): F(x) = Р(Х<х). Функция распределения в точке х равна вероятности того, что СВ Х принимает значение меньше х.

Свойства F(x)

1. Функция распределения СВ Х есть неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1: 0 F(x) 1.

2. На минус бесконечности функция распределения = 0: F(- ) = lim F(x)=0.

3. На плюс бесконечности функция распределения =1: F(+ )=1

4. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента: F(x1) F(x2) при х1 х2.

Задается функцией распределения и функцией плотности.

Плотностью распределения (плотностью вероятности или просто плотностью) непрерывной СВ называется производная ее функции распределения: (x)=f(x) или F(x) =