3.2.1. Незміщені оцінки

Внаслідок випадковості вибірок значення оцінок однієї числової характеристики, обчислені за різними вибірками з тієї самої генеральної сукупності, бувають, як правило, різними.

Припустимо, що по вибірці об'єму знайдена оцінка . Повторимо дослід, тобто витягнемо з генеральної сукупності іншу вибірку того ж об'єму й за її даними знайдемо оцінку . Повторюючи досвід багаторазово, одержимо значення випадкової величини .

Уявимо собі, що оцінка дає наближене значення параметра з надлишком. Тоді кожне знайдене за вибірковим даними значення більше справжнього значення . Ясно, що в цьому випадку й математичне сподівання (середнє значення) випадкової величини більше, ніж , тобто . Очевидно, що якщо дає оцінку з недостачею, то .

Таким чином, використання статистичної оцінки, математичне сподівання якої не дорівнює оцінюваному параметру, привело б до систематичних (одного знаку) помилок. Із цієї причини природно вимагати, щоб математичне сподівання оцінки дорівнювало оцінюваному параметру. Хоча дотримання цієї вимоги не усуне помилок (одні значення більше, а інші менше ), однак помилки різних знаків будуть зустрічатися однаково часто. Іншими словами, дотримання вимог гарантує від одержання систематичних помилок.

Визначення. Незміщеною називається оцінка , математичне сподівання якої дорівнює оцінюваному параметру :

;

Якщо ця умова не виконується, то оцінку називають зміщеною, при цьому зміщення обчислюється як різниця .

Твердження. Незміщеною оцінкою генеральної середньої арифметичної є вибіркова середня .

Знайдемо математичне сподівання вибіркової середньої , враховуючи, що , :

.

Що й було потрібно довести.

Твердження. Вибіркова дисперсія є зміщеною оцінкою генеральної дисперсії , тобто:

.

Величина зміщення цієї оцінки дорівнює . Звідси видно, що при п зміщення наближається до нуля. Виходить, при досить великому об'ємі вибірки п вибіркову дисперсію можна приймати за наближене значення генеральної дисперсії .

Однак неважко записати незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності. Таку оцінку являє собою виправлена дисперсія:

. (3.1)

Дійсно, знаходячи математичне сподівання обох частин рівності (3.1) одержимо:

M( ) = M( ) = M( ) =  = .

Дріб часто називають поправкою Бесселя¹ . При малих значеннях n поправка Бесселя досить значно відрізняється від 1, але зі збільшенням n вона досить швидко прагне до 1 ( ). При n >50 фактично немає різниці між оцінками й .

З урахуванням формули (3.1) можна одержати наступну формулу для обчислення незміщеної (виправленої) оцінки генеральної дисперсії :

. (3.2)

3.2.2. Ефективні й спроможні оцінки

Однак було б помилковим уважати, що незміщена оцінка завжди дає гарне наближення оцінюваного параметра. Дійсно, можливі значення можуть бути сильно розсіяні навколо свого середнього значення, тобто дисперсія може бути значною. У цьому випадку знайдена за даними однієї вибірки оцінка може виявитися досить віддаленою від середнього значення оцінюваного параметра ; прийнявши її як наближене значення , ми допустили б більшу помилку. Якщо ж вимагати, щоб дисперсія була малою, то можливість припуститися більшої помилки буде виключена. Із цієї причини до статистичної оцінки пред'являється вимога ефективності.

Визначення. Ефективною називають статистичну оцінку, що (при заданому об'ємі вибірки ) має найменшу можливу дисперсію.

При розгляді вибірок великого об'єму до статистичних оцінок пред'являється вимога спроможності.

Визначення. Спроможною називають статистичну оцінку, що при наближається по ймовірності до оцінюваного параметра, тобто:

для як завгодно малої величині .

Інакше кажучи, оцінка спроможна, якщо вона підпорядковується закону великих чисел.

Спроможність оцінки означає, що чим більше вибірки беруться, тим більше ймовірність, що помилка оцінки не перевищить як завгодно малої величини . Інакше кажучи, у випадку спроможних оцінок виправдується збільшення числа одиниць вибірки, тому що при цьому усе менш імовірним стає допущення значної помилки оцінки.

Як статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності бажано використовувати оцінки, що задовольняють одночасно вимогам незміщеності, спроможності й ефективності. Однак досягти цього вдається не завжди. Може виявитися, що для простоти розрахунків доцільно використовувати незначно зміщені оцінки або оцінки, що мають більшу дисперсію в порівнянні з ефективними оцінками, і т.п.