6.2.1. Метод деления отрезка пополам. Метод половинного деления. Метод дихотомии. Метод бисекции.

Один из простейших методов. Довольно медленный, однако он всегда сходится, то есть при его использовании решение получается всегда, причем с заданной точностью (разумеется, в рамках разрядности ЭВМ). Требуемые обычно большее число итераций по сравнению с некоторыми другими методами не является препятствием к применению этого метода, если вычисление значения f(x) несложно.

Суть метода в следующем:

В качестве х₀ принимаем середину отрезка [a,b]

Далее исследуем функцию f(x) на отрезках [a,х₀], [х₀,b], точнее на концах этих отрезков. Тот из них, для которого выполняется теорема 1 содержит искомый корень. Отрезок, для которого теорема 1 не выполняется отбрасываем.

То есть, если f(a)f(x₀)<0, то b=x₀, [х₀,b]

если f(x₀)f(b)<0, то a=x₀, [a,х₀]

Далее в качестве x₁ принимаем середину нового отрезка и так далее. Таким образом, после каждой итерации, отрезок, на котором расположен корень уменьшается вдвое, то есть после n итераций он сокращается в 2ⁿ раз.

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции

или длина отрезка [a,b] на i-той итерации

не станет меньше по модулю некоторого заданного малого числа.

6.2.2. Метод пропорциональных частей Метод хорд

Алгоритм метода хорд и метода дихотомии похожи, но метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. Успех применения этого метода, как и метода дихотомии, гарантирован.

выпукла вниз выпукла вверх

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближения к корню принимают значения х₁, х₂,…,являющихся абсциссами точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс

Уравнение хорды АВ

Для точки пересечения хорды с осью 0х на первой итерации х=х₁ и у=0.

Далее рассматривая отрезки [a,х₁], [х₁,b], оставляем тот из них для которого выполняется теорема 1, второй при этом отбрасываем.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока, как и для метода дихотомии,

или .

Для рассмотренного рисунка видно, что конец отрезка b является неподвижным.

Для случая

выпукла вниз выпукла вверх

неподвижным остается конец отрезка а.

Рассмотрим формулу метода хорд отдельно для каждого из случаев 1 и 2.

Для случая 1 (неподвижен конец b)

Для случая 2 (неподвижен конец а)

Для того, чтобы воспользоваться этими формулами без анализа графической картины функции f(x) необходимо следовать правилу

- неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

неподвижен a, x₀=b

неподвижен b, x₀=a

Естественно при этом требуется вычислить значении

При использовании этих формул условие окончания вычислений

или

6.2.3. Метод Ньютона. Метод касательных

Алгоритм метода Ньютона схож с алгоритмом метода хорд. Отличие состоит в том, что на некоторой итерации вместо хорды проводится касательная к графику функции f(x) при x=a или x=b и отыскивается абсцисса точки пересечения касательной с осью 0х.

Уравнение касательных по формуле Тейлора

Для точки пересечения касательной с осью 0х на первой итерации х=х₁ у=0

Далее проверяем значения функции на концах отрезка [a,х₁], [х₁,b] и оставляем тот из концов отрезка, для которого выполняется теорема 1.

На рисунке видно, что для данного поведения функции конец отрезка а остается неподвижным.

На рисунке

Неподвижным остается конец b.

Таким образом, также как и для метода хорд, можно написать формулу, связывающую между собой два соседних приближения корня

При этом в качестве х₀ принимается тот из концов отрезка [a,b], для которого выполняется условие: значение функции и значение второй производной одинаковы по знаку

x₀=а

x₀= b

Итерационный процесс продолжается до выполнения условий

или

Из анализа расчетной формулы метода Ньютона следует, что

1. должно быть ,

2. На каждой итерации объем вычислений больший, чем в рассмотренных ранее методах дихотомии и хорд, так как требуется вычислить не только но и . Однако скорость сходимости этого метода значительно выше, чем в других методах.

Уменьшить количество вычислений на каждой итерации позволяет видоизмененный метод Ньютона, для которого расчетная формула имеет вид

,

то есть для получения этой формулы предположили, что . Данное предположение допустимо, если мало изменяется на отрезке [a,b].

Теоретически это означает, что мы заменяем касательную в точках с абсциссой прямыми, параллельными касательной проведенной к точке с абсциссой .

Видоизмененный метод Ньютона избавляет нас от необходимости вычислять каждый раз значение производной , что весьма полезно, если является сложной.