Импульс (p)

Сохранение импульса является следствием однородности пространства. Иными словами, законы движения одинаковы во всех точках пространства. Математическое отражение этого факта – функция Лагранжа замкнутой системы не меняется при параллельном переносе системы как целого в пространстве.

Действительно, ведь потенциальная энергия зависит только от разности координат взаимодействующих частиц, а от самой координаты не зависит, она не изменится, если все сместить.

Параллельный перенос – это следующее преобразование радиусов-векторов всех частиц системы: r_a  r_a + .

Посмотрим изменение функции эль вследствие бесконечно малого переноса, т.е.

При   0 dL = _a(L/r_a)dr_a = _aL/r_a

А мы уже сказали, что эль не должно измениться, т.е. dL = 0. Откуда следует

_aL/r_a = 0 и, опять таки, воспользовавшись для производной от L уравнением Лагранжа (1.2) имеем

(d/dt) _aL/v_a = 0

P = _aL/v_a = _am_av_a (4)

Для замкнутой системы P = const

p_a = m_av_a – импульс отдельной частицы, P = _a p_a.

Если мы пользуемся обобщенными координатами, то величина

p_i = L/q_i^. (5)

называется обобщенным импульсом, а величина F_i = L/q_i – обобщенной силой. Из уравнения Лагранжа (1.2) следует:

p_i^. = F_i. Как бы обобщенное уравнение Ньютона. (6)

Центр инерции

Центром инерции системы называют точку, радиус-вектор которой

R = _am_ar_a/_am_a (7)

Найдем скорость движения центра инерции: R^. = _am_av_a/_am_a = P/_am_a , откуда P = R^. _am_a. Т.е. при рассмотрении движения системы как целого ее можно заменить материальной точкой, расположенной в центре инерции, и обладающей суммарной массой частиц системы.

Момент импульса (m)

Сохранение момента импульса является следствием изотропии пространства. Иными словами, законы движения не меняются при

повороте системы как целого. Математическое отражение этого факта – функция Лагранжа замкнутой системы не меняется при повороте системы как целого. \далее все менее подробно\

Поступаем с эль аналогично предыдущему. При бесконечно малом повороте системы на угол d радиус-вектор каждой ее точки получает приращение dr = [dr] (вектор d поворота равен по величине углу поворота d и направлен по оси поворота в сторону, отвечающую правилу винта). Этот чисто геометрический факт проверите на досуге. Изменение L при повороте:

dL = _a[(L/r_a)dr_a + (L/v_a)dv_a] = 0

Поскольку L/v_a = p_a, а из (1.2) следует L/r_a = p_a^., то

dL = _a(p_a^.[dr_a] + p_a[dv_a]) = 0

производя циклическую перестановку множителей и вынося d за знак суммы, получаем

d_a([r_a p_a^.] + [v_ap_a]) = d (d/dt) _a[r_a p_a] = 0

M = _a[r_a p_a] (8)

Для замкнутой системы M = сonst. А также для системы во внешнем поле, потенциал которого зависит только от расстояния от некоторой точки (U = U(r) – центральное поле). Полезно заметить, что любая симметрия, т.е. независимость функции Лагранжа от какой-либо переменной ведет к появлению соответствующего закона сохранения.

Лекция 3

Некоторые примеры интегрирования уравнений движения

Одномерное движение

Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы.

В случае одной степени свободы функция Лагранжа в декартовых координатах:

L = mx^.2/2 – U(x)

Энергия (сохраняющаяся величина, (2.3)):

mx^.2/2 + U(x) = E или

dx/dt = {(2/m)[E – U(x)]}^1/2

Это дифференциальное уравнение первого порядка, интегрируем разделением переменных.

t = (m/2)^1/2dx/[E – U(x)]}^1/2 + const (1)

Поскольку кинетическая энергия – величина существенно положительная, то условие U(x) < E определяет области возможного движения тела. Если область движения ограничена, движение называют финитным, если не ограничена – инфинитным. Рис. 6 из Ландау и Лифшица (ЛЛ) и пара рисунков для инфинитного случая.

Точки, в которых U(x) = E определяют границы движения, они называются точками остановки.

Период колебаний при финитном одномерном движении:

T(E) = (2m)^1/2_x1(E)^x2(E)dx/[E – U(x)]^1/2

х₁, х₂ – точки остановки.