23) Теплопроводность через плоскую стенку при граничных условиях первого рода.(можно скатать еще начало 24 билета ,про 3 вида)

Рис.Однородная плоская стенка

Р ассмотрим однородную плоскую стенку толщиной δ .На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен λ. При стационарном режиме ( ) и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v=0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

.

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае

,

и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде:

.

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому .

Учитывая, что , получим

.

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ,

.

Отношение называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину - термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина λ зависит от температуры, в уравнения необходимо подставить коэффициент теплопроводности λ_с, взятый при средней температуре стенки.

24) Теплопроводность в плоской стенке при граничных условиях третьего рода.

Граничные условия в свою очередь бывают трех родов:

1) первого рода, задается распределение температуры на поверхности тела в функции времени;

2) второго рода, задается плотность теплового потока для всей поверхности тела в функции времени;

3) третьего рода, задаются температура окружающей среды t_ж и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой — закон Ньютона—Рихмана:

,

где t_c — температура поверхности тела; α — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²·К). Коэф­фициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому или воспринимаемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. Этот коэффициент учитывает все особенности явлении теплообмена, происходящие между поверхностью тела и окружающей средой. Плотность теплового потока, передаваемого от поверхности тела в окружающую среду,

.

Согласно закону сохранения энергии, эта теплота равна теплоте, подводимой к поверхности изнутри тела путем теплопроводности:

.

Переписав последнее уравнение в виде:

,

получаем математическую формулировку граничных условий третьего рода. В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепловые потоки.