3.4. Равномерное распределение

Определение. Распределение непрерывной случайной величины, заданное дифференциальной функцией распределения

(6)

называется равномерным распределением на отрезке .

График функции (6) изображен на рис. 14.2.

Интегральный закон равномерного распределения имеет следующий вид:

(2)

График функции (7) изображен на рис. 14.3.

Найдем , где – равномерно распределенная случайная величина.

Имеют место следующие случаи:

а ) (рис. 14.4),

;

б) (рис. 14.5),

;

в) (рис. 14.6),

.

Если , , то .

Моделью равномерного распределения может служить пример с рулеткой (см. выше).

Теорема. Если – равномерно распределенная непрерывная случайная величина на отрезке , то

, , (8)

3.5 Показательное (экспоненциальное) распределение

Определение. Распределение непрерывной случайной величины , заданное дифференциальной функцией распределения

(9)

где – некоторый параметр, называется показательным (экспоненциальным) распределением.

График функции (9) изображен на рис. 14.7.

Интегральная функция распределения показательной величины имеет вид:

(10)

Действительно,

Вычислим показательной случайной величины.

а) :

;

б) :

;

в) :

.

Теорема. Если – показательная случайная величина с дифференциальной функцией распределения (9), то

, , (11)

§ 4. Система случайных величин

Пусть в результате некоторого испытания случайные величины и принимают значения и . Эта пара чисел задает точку на плоскости. По аналогии с интегральной функцией распределения одной случайной величины можно рассматривать функцию , равную вероятности .

Функция

(1)

называется интегральной функцией распределения системы двух случайных величин и .

Аналогично, интегральная функция совместного распределения случайных величин есть по определению функция

. (2)

Как видно из рис. 14.8, функция выражает вероятность попадания точки в заштрихованную область.

С помощью интегральной функции распределения можно вычислить вероятность того, что пара значений величин и будет удовлетворять неравенствам и , т.е. принадлежать прямоугольнику (рис. 14.9), а именно

. (3)

Аналогом дифференциальной функции распределения случайной величины для пары случайных величин является функция

. (4)

Можно доказать, что

(5)

с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем , .

Функция называется плотностью вероятности системы величин и .

Формула (5) оправдывает такое название функции ( есть вероятность, отнесенная к единице площади).

Пусть – область на плоскости переменных , и требуется найти вероятность , т.е. вероятность того, что значения пары случайных величин и определят координаты некоторой точки из .

Разобьем область на малые прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат (рис. 14.10). Тогда искомая вероятность (в соответствии с формулой (5)) будет приближенно равна сумме

,

г де , – координаты левой нижней вершины прямоугольника с номером . Предел этой суммы (если он существует) по определению равен двойному интегралу

.

Таким образом, получаем формулу

. (6)

Формула (6) есть двумерный аналог формулы .

Из формулы (6) следует, что

,

поскольку в этом случае двойной интеграл означает вероятность достоверного события .

Замечание. По аналогии с одномерной случайной величиной функции и обладают следующими свойствами:

1. ;

2. – неубывающая по аргументу функция;

3. , т.к. – достоверное событие;

, т.к. – достоверное событие;

4. ;

5. ;

6. .

Рассмотрим теперь совместное распределение двух дискретных случайных величин. Пусть и – значения случайных величин и , а и – соответствующие им вероятности; пусть означает вероятность совместного наступления событий , . Соответствие называется совместным распределением пары дискретных случайных величин.

Закон совместного распределения двух случайных величин часто изображают с помощью таблицы:

				…
				…
				…
	…				…
				…

Т.к. события , ; образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таблицы, равна единице.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события , , …, несовместны, поэтому по теореме сложения

.

Таким образом, для того, чтобы найти вероятность , надо просуммировать вероятности столбца . Аналогично, для того, чтобы найти вероятность , нужно просуммировать вероятности -ой строки.

Определение. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих:

.

Доказательство.

а) Необходимость. Пусть и – независимы. Тогда события и независимы. Следовательно, вероятность совмещения этих событий равна произведению вероятностей, т.е.

.

б) Достаточность. Пусть

и – независимые события, следовательно, и – независимые величины.

Следствие. Для того, чтобы непрерывные случайные величины и были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих:

.