2.1 Механика жидкостей

Совокупность векторов v(t), заданных для всех точек пространства, называется полем вектора скорости. Это поле можно наглядно изобразить с помощью линий тока (. Линию тока

Рис. 39.1. Линии тока проводятся так, чтобы вектор v в каждой точке пространства был направлен по касательной к соответствующей линии

Рис.39.2. За время Δt через поверхность S пройдут все частицы жидкости, заключённые в объёме между S и S’

можно провести через любую точку пространства. Если построить все мыслимые линии тока, они просто сольются друг с другом. Поэтому для наглядного представления течения жидкости строят лишь часть линий, выбирая их так, чтобы густота линий тока была численно равна модулю скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно судить не только о направлении, но и о модуле вектора v в разных точках пространства. Например, в точке А густота линий, а следовательно и модуль v, чем в точке В. Поскольку разные частицы жидкости могут проходить через данную точку про­странства с разными скоростями (т. е. v = v(t)), кар­тина линий тока, вообще говоря, все время изме­няется. Если скорость в каждой точке пространства остается постоянной (V=const), то течение жидко­сти Называется стационарным (установившим­ся). При стационарном течении любая частица жидкости проходит через данную точку пространства с од­ной и той же скоростью v. Картина линий тока при стационарном течении остается неизменной, и линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц. Если через все точки небольшого замкнутого контуpa провести линии тока, образуется поверхность, которую называют трубкой тока. Вектор v касателен к поверхности трубки тока в каждой ее точке. Следовательно, частицы жидкости при своем движе­нии не пересекают стенок трубки тока.

Возьмем трубку тока, достаточно тонкую для того, чтобы во всех точках ее поперечного сечения S скорость частиц v была одна и та же (рис. 39.2). При стационарном течении трубка тока подобна стен­кам жесткой трубы. Поэтому через сечение 5 прой­дет за время Δt объем жидкости, равный SvΔt, а в единицу времени объем

V=Sv (31)

Жидкость, плотность которой всюду одинакова и изменяться не может, называется несжимаемой. На рис. 39.3 изображены два сечения очень тонкой трубки тока — S1 и S2. Если жидкость несжи­маема , то кол – во ее между этими сечениями остается неизменным. От­сюда следует, что объемы жидкости, протекающие в единицу времени через сечения S1 и S2, должны быть одинаковыми:

Для несжимаемой жидкости при стационарном течении S₁v₁=S₂v₂

При движении в сужающейся трубке скорость частиц возрастает – частицы движутся ускоренно.

Равенство справедливо для любой пары произвольно взятых сечений. Следовательно, для не­сжимаемой жидкости при стационарном течении про­изведение Sv в любом сечении данной трубки тока имеет одинаковое значение:

Sv=const (32)

Это утверждение носит название теоремы о неразрывности струи.

Мы получили формулу для несжимаемой жидкости. Однако она применима к реальным жидко­стям и даже к газам в том случае, когда их сжимае­мостью можно пренебречь. Расчеты показывают, что при движении газов со скоростями, много меньшими скорости звука в этой среде, их можно с достаточной точностью считать несжимаемыми.

Из соотношения вытекает, что при изме­няющемся сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. Если трубка тока горизонтальна, это ускорение может быть обусловлено только непостоянством давления вдоль трубки — в местах, где скорость больше, давление должно быть меньше, и наоборот. Аналитическую связь между скоростью течения и давлением мы уста­новим в следующем параграфе.