51. Теорема Гауса. Основна теорема теорії поверхонь.

Теорема Гауса.

Полная или гаусовая кривизна поверхности выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные. Т.е. не изменяется при изометрических отображениях поверхности или, что тоже самое, является инвариантом внутренней геометрии поверхности.

Основна теорема теорії поверхонь.(th Гаусса-Бонне)

Нехай U – відкрита зв'язна область на R² і нехай на U задані дві квадратичні форми

для яких виконані умови:

1.Перша квадратична форма додатно-означена;

2.Всі функції g_ij =g_ij (u,v), h_ij =h_ij (u,v) і їх частинні похідні в області U є функціями класу С^к, k ≥1;

3.Функції g_ij і h_ij зв'язані рівняннями Гауса і Петерсона-Кодацци-Майнарді.

Тоді існує регулярна поверхня, для якої задані форми є відповідно першою і другою квадратичними формами. Крім того, ці форми визначають поверхню однозначно з точністю до положення в просторі.

52. Геодезична кривина кривої на поверхні. Теорема про обчислення геодезичної кривини.

Геодезична кривина кривої на поверхні.

Геодезичною кривиною k_g регулярної кривої на регулярній поверхні в даній точці називається скалярна проекція вектора кривини кривої в цій точці на дотичну площину поверхні в тій же

точці.

Теорема про обчислення геодезичної кривини.

Геодезична кривина k_g кривої u¹ =u¹(t),u² =u²(t) на поверхні ­­­r =r(u¹,u² ) обчислюється за формулою

,

де по індексах i, j =1,2 виконується підсумовування.

53. Напівгеодезична параметризація поверхні. Перша квадратична форма поверхні та повна кривина в напівгеодезичній параметризації.

Параметризація поверхні наз. напівгеодезичною, якщо одне сімейство координатних ліній складається з геодезичних, а друге- з ортогональних траекторій сімейства геод. ліній.

Ортогональною траекторією сімейства кривих наз. крива, яка кожну криву сімейства перетинає під прямим кутом.

Перша квадратична форма поверхні та повна кривина в напівгеодезичній параметризації.

54. Геодезичні лінії та їх властивості.

Лінія на поверхні називається геодезичною, якщо її геодезична кривина в кожній точці дорівнює нулю.

Відповідно до формули для обчислення kg диференціальне рівняння геодезичних ліній поверхні може бути записане у вигляді

Властивості:

1.При ізометричних відображеннях поверхні геодезичні лінії переходять в геодезичні.

2. Через кожну точку регулярної поверхні в будь-якому напрямку можна провести геодезичну лінію

і лише одну.

3. Через будь-які дві достатньо близькі точки поверхні можна провести геодезичну лінію і до того ж тільки одну.

4. З усіх кривих поверхні, що з’єднують дві достатньо близькі точки, дуга геодезичної лінії має найменшу довжину.

5.Із всіх кривих поверхні, що проходять через дану точку М і мають в цій точці спільну дотичну криву, геодезична лінія має найменшу кривину.

55. Критерій геодезичної лінії.

Для того, щоб лінія на поверхні була геодезичною, необхідно і достатньо, щоб вона була або прямою, або в кожній її точці співпадали головна нормаль і нормаль до поверхні.

Доведення

співпадали головна нормаль і нормаль до поверхні.

Приклади.

1.Якщо на поверхні є пряма лінія, то вона є геодезичною.2. Образуюча циліндра.3. Пряма на площині.4. Однополосний гіперболоїд.5. Великі кола сфери є геод. лініями.6. Напрямлюючі кругового циліндра;