2.4 Линейные стационарные системы в дискретном времени

Понятие состояния в дискретном времени

Состояние дискретной системы можно схематично охарактеризовать как минимальную информацию о системе, необходимую для опреде­ления при известной входной функции ее выхода, а также ее состояний в будущем. Точнее, совокупность переменных х обра­зует вектор состоянии системы, если можно найти такие две однозначные функции f и g, что

(2.4.1)

где T – период запаздывания сигнала задержки, , y(kT) — выходной вектор в момент времени kT, a v(kT) — входной вектор в момент времени kT. Интересно отметить, что эти условия были получены независимо Хаффманом и Муром в результате исследования близких, но различных проблем. При последующем изложении в качестве вектора состояния системы большей частью выбираются выходы звеньев задержки в схеме моделирования. Подобный выбор удобен и эффективен.

В случае линейной системы уравнение (2.4.1) записывается в виде системы линейных разностных векторных уравнений

(2.4.2)

где A(kT), B(kT), C(kT), D(kT) – изменяющиеся во времени матрицы. В случае стационарной системы эти матрицы постоянны. Ниже представлена блок-схема системы (2.4.2)

Решение системы вход-состояние-выход в конечных разностях

По аналогии с системами в непрерывном времени, решение для систем в дискретном времени также имеет свободную и вынужденную составляющие. Переходная матрица будет иметь вид F=e^AT. Рассмотрим систему (2.4.2). Пусть k=0,1,2…., x(0)=x_0. Тогда:

3.Основы теории устойчивости Ляпунова

Под устойчивостью систем автоматического регулирования обычно понимают свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения.

Требование устойчивости определяет, как правило, работоспособность системы.

3.1 Первый метод Ляпунова. Устойчивость в малом.

Полагая, что система автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим устойчивость решений дифференциальных уравнений. Пусть поведение системы автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

(3.1.1)

где x – вектор состояний, а

Если система (3.1.1) является автономной (если вектор-функция f не зависит явно от времени t, т.е. система дифференциальных уравнений имеет вид , то система уравнений называется автономной (стационарной)), то уравнение (3.1.1) имеет вид:

. (3.1.2)

Введем в рассмотренные (n + 1)-мерное пространство Eⁿ⁺¹, координатами которого являются t, x₁,…, x_n. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по независимым переменным x₁,…, x_n в некоторой выпуклой области g пространства Eⁿ⁺¹. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, т.е. для любых начальных значений t₀, x₁₀,…, x_n0 существует, и притом единственное решение:

(i =1, 2, 3,…, n), (3.1.3)

удовлетворяющее начальным условиям:

(i =1, 2, 3,…, n). (3.1.4)

Будем считать функции ξ_i(t) оптимальными для t₀ < t < ∞, причем t₀ можно считать равным - ∞.

Рассмотрим некоторое решение системы (3.1.1) , определенное на интервале [t₀, ∞), причем .

Решение ξ_i(t) называется устойчивым по Ляпунову при t → ∞, если для любого ε>0 существует такое δ>0, зависящее от ε и t, что любое решение x_i = φ_i(t), для которого t = t₀ выполняется неравенство │φ_i(t₀) - ξ_i(t₀)│< δ, удовлетворяет неравенству │φ_i(t) - ξ_i(t)│< ε, при t₀ ≤ t < ∞ для всех i =1, 2, 3,…, n.

Геометрически это означает, что все решения, которые при t = t₀ начинается в δ-окрестности точки(x₁₀,…, x_n0), никогда не покинут ε-трубку решение ξ(t).

Решение ξ₁(t) называется неустойчивым, если существует ε>0 такое, что для любого δ>0 найдется такой момент времени t = t₁, что для некоторого значения i = k и t = t₁ будет выполняться неравенство: │φ_k(t₁) – ξ_k(t₁)│≥ ε, несмотря на то что: │φ_k(t₀) – ξ_k(t₀)│< δ для всех i =1, 2, 3,…, n.

Решение ξ_i(t) называется ассиметрически устойчивым, если:

1. Решение ξ(t) устойчиво по Ляпунову при t → ∞;

2. Существует такое число μ > 0, что для любого решения φ_i(t), удовлетворяющие при t = t₀ неравенство:

Если μ = ∞, то динамическая система называется устойчивой в целом.

Теперь, когда дано формальное определение устойчивости по Ляпунову, перейдем непосредственно к первому методу Ляпунова. Разложим (3.1.2) в ряд Тейлора вблизи положения равновесия , где :

(3.1.5)

очевидно, что , а f(x_р)=0 по определению, тогда (3.1.5) приобретает вид уравнения первого приближения: , где - матрица Якоби. Положение равновесия (3.1.5) будет асимптотически устойчиво, если все собственные числа J будут иметь отрицательные вещественные части. Если одно или более собственных чисел J ,положительные вещественные части, а все остальные – отрицательные, то положение равновесия неустойчиво. Если одно или более собственных чисел будут иметь нулевые вещественные части, а остальные собственные числа – отрицательные вещественные части, то тогда оценка устойчивости по уравнению первого приближения доя (3.1.5) некорректна и необходимо проводить исследование в нелинейном плане.