3.5.2. Оптические свойства кристаллов.

В анизотропных средах связь между векторами электрической индукции и напряженностью электрического поля определяется выражением:

(3.5.3)

где тензор диэлектрической проницаемости:

(3.5.4)

Из закона сохранения энергии следует, что , т.е. тензор диэлектрической проницаемости симметричный, и из 9-ти его компонент – 6 независимых. Симметричность тензора позволяет привести выражения для плотности электрической энергии к такой форме, в которую будут входить лишь квадраты компонент поля (см Матвеев §39):

(3.5.5)

Т. о., существует система координат, связанная с кристаллом, в которой материальные уравнения и выражения для плотности электрической энергии приобретают простую форму:

(3.5.6)

В этой системе координат тензор диэлектрической проницаемости диагонален, при этом величины называются главными диэлектрическими проницаемостями.

Из (3.5.6) следует важный вывод, что вектора и не коллинеарны. Исключение составляет случаи, когда вектор напряженности совпадает с одной из главных осей или когда .

В изотропных средах диэлектрическая проницаемость e функция частоты (дисперсия), особенно резко она меняется вблизи полос поглощения. Так же в оптически анизотропных средах компоненты тоже меняются от частоты . Следовательно, с частотой падающего света меняются направления вектора , значения главных диэлектрических проницаемостей и направления осей . Это явление называется дисперсией осей.

По своим оптическим свойствам кристаллы делятся на три группы.

I-ая группа. Кубические кристаллы – кубическая система, когда все три выбранных взаимно-перпендикулярных направления эквивалентны:

Кристаллы оптически изотропны и эквивалентны аморфному телу.

I I-ая группа. Кристаллы, в которых можно выбрать две или более кристаллографически эквивалентных направлений, лежащих в одной плоскости. Это кристаллы тригональной (а), тетрагональной (б) и гексагональной (в) систем.

Эти плоскости перпендикулярны к оси симметрии третьего, четвертого и 6-го порядков, при этом выполняется

.

Группы I и II – одноосные кристаллы.

III группа. Кристаллы, в которых невозможно выбрать 2 кристаллографически эквивалентных направления. Это кристаллы ромбической, моноклинной и триклинной систем:

.

Это оптически двуосные кристаллы.

3.5.3. Объяснение явления двойного лучепреломления.

Пусть точка О является источником электромагнитных волн.

А ) В изотропной среде волновая поверхность представляет собой сферу, поскольку . Так как в каждой точке фронт волны задается плоскостью, касательной к волновой поверхности, а нормаль к этой поверхности определяет направление распространения волны, то в изотропной среде нормаль к волновой поверхности совпадает с направлением луча, т.е. с направлением переноса энергии электромагнитной волной.

Б ) В анизотропной среде скорость электромагнитной волны зависит от направления распространения, и в этом случае волновая поверхность не является сферой. Следовательно, нормаль к волновой поверхности , т.е. единичный вектор, определяющий направление распространения фазы волны, и вектор Пойнтинга , определяющий направление переноса энергии (направление групповой скорости или, иначе, луч), не совпадают по направлению. Если угол между векторами и равен , то скорость переноса энергии в направлении нормали определятся как .

Исходя из уравнений Максвелла, покажем, что в анизотропных средах распространяются две волны.

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную

волну:

(3.5.7)

(3.5.8)

Запишем систему уравнений Максвелла для немагнитного диэлектрика:

(3.5.9)

Отметим, что задачу решаем в системе главных диэлектрических осей, при этом , т.к. вектор не коллинеарен вектору . Подставим уравнения плоской волны (3.5.7) и (3.5.8) в уравнения (3.5.9), при этом произведение , где c/n – фазовая скорость в направлении нормали. Производные по времени и пространственным координатам от плоской волны могут быть заменены на следующие множители:

(3.5.10)

Тогда, полагая для слабомагнитного диэлектрика , из первых двух уравнений (3.5.9) получаем, соответственно:

(3.5.11)

Отсюда видно, что . Вектор Пойнтинга , представляющий направление луча, перпендикулярен к векторам и и не совпадает по направлению с вектором , т.к. известно, что в анизотропной среде и не коллинеарны.

Итак, при распространении электромагнитной волны в анизотропной среде фазовая скорость , которая направлена по , и групповая скорость , направленная по , не совпадают по направлению между собой. Следовательно, , но не . Строго говоря, в анизотропной среде электромагнитная волна не является поперечной, т.к. есть ненулевая проекция вектора на направление распространения фазы и ненулевая проекция на .

Вектор коллинеарен , если волна распространяется вдоль одного из главных направлений в кристалле.

Итак, комбинируя уравнения (3.5.11) (подставляя второе в первое), получаем:

(3.5.12)

Умножим последнее равенство скалярно на и, учитывая, что , имеем

(3.5.13)

Далее, вспоминая что , получаем для скорости распространения волны в среде

(3.5.14)

Важная особенность: скорость электромагнитных волн зависит от направления их распространения и поляризации. Рассматривая совместно уравнения Максвелла, свойства волн в кристаллах и связь между векторами и , можно получить формулы Френеля для анизотропной среды.